INTÉGRATION PAR SÉRIES

K On a vu, dans V Algèbre (Chs^p. X), quelques exemples du développement d'une fonction, résultant du développement de la dérivée. Pour généraliser celte théorie, supposons qu^une fonction f(x) ait été développée en série convergente, de manière que

f{x) = «4 -4- Ils -♦- M, H- ••• -♦- u„ -+- R„. (i)

D'après Thypothèse, le reste R„ doit tendre vers zéro, sinon pour toutes les valeurs de x, au moins pour celles qui sont comprises entre deux limites données a y b. Cela posé, on a ce théorème :

La série formée par les intégrales des termes de la série (\) (*), prises entre a ^f b, est convergente, et a peur somme IHntégrale de f(x)dx, prise entre les mêmes limites.

De régalité (1), on conclut

J f{x) dx =j u^dx -4- ••• '■\-juJix -^jVi^dx,

a a a ft

Soit M le maximum des valeurs que prend R„, quand / varie entre a et 6. On a , en considérant les valeurs absolues,

/*R„dx<M(5 — a).

La quantité M tend vers zéro quand n augmente; le facteur 6 — a est supposé fini; donc

limj* R„c<x = 0;

(*) La muItiplicatioD par dx est soas-entendue.

INTÉGRATION PAR SÉRIES. 0Oi

OU

J /'(x)rfx=y ttidx -I- — vj u^dx H ; (2)

ce qu'il fallait démontrer (*).

90. Remarques. — I. Au lieu d'adopter 6 pour limite supérieure de chaque intégrale, on peut prendre celle-ci entre a et x (x étant inférieur à 6); et Ton a la formule

y*/*(x) dx =J^'uidx -¥■ ••• -f-y**u„dx -4- •••, (3)

as a

qui donne, en série convergente, le développement de jT f(x) dx.

' IL Si régalité (1) se réduit à

f(x) =3 Oo + GiX + a^* -♦- — -*- a„x"

c'est-à-dire si la fonction f(x) est développée suivant la série de Mac-Laurin, la formule (3) devient, en supposant a = 0:

/* x' x" x" f(x)dx= OoX -+- Oi 1- Oj-—-*- ••• -+•«;, H •'

III. Cette nouvelle série, qui résulterait aussi de la formule de Mac-Laurin, directement appliquée, est plus convergente que la précédente (**).