IV. De
OU
on cofichit
Ains'iy tout cube est la différence de deux carrés. En outre, un des carrés, au moins y est divisible par 9.
V. Chacune des quantités Sp étant un nombre entiei*, le dénominateur de la fraction qui représente S^ doit diviser le numérateur correspondant. Par exemple, le produit
n {n -H 1) (en» -h 15n* + 6»' — 6»* — « -h !)
est toujours divisible par 42. Nous engageons le lecteur à essayer la démonstration directe.
•ommallon des pilea de iMuleUi*
II, Pile à base carrée. — Elle a la forme d'une pj/ramide quadrangulaire régulière. La base de la pyramide» ou la premier^ couche de la pile, se compose de boulets rangés en carré. Si n est le nombre des boulets formant le côté du carré, cette première couche contient n^ boulets. Il est facile de voir que les couches suivantes renferment (n — 1)* boulets, (n — 2)^ boulets, etc. Enfin, le sommet de la pyramide est formé par un seul boulet. Conséquemment, le nombre des boulets contenus dans la pile est
N = ««4-(n — l)«-f- . . -+-2»-+-^ ou
^•« Pile triangulaire. — Sa forme est celle d'un tétraèdre régulief^ (*).Les couches successives sont des triangles équilatéraux, dont les côtés renferment n bouletS9(n — 1) boulets, ... et, enfin, un seul boulet. Gela posé, le nombre des boulets contenus dans la première couche étant
la somme cherchée sera
ou (4&, 5«)
9S« Remarqua, — Ce résultat est une conséquence des formules (3), (4). Observons d'abord que
D*un autre côté, pour trouver la somme de plusieurs polynômes, on peut ajouter les termes de même degré, et réunir les sommes partielles ; donc
\ r(n -+- 1 ) [n -♦- 2) I2n -+-5) (n -+- 1 ) (n -f- 2n ^21 tî 4 J
ou
(*) 11 existe un rapport, assez simple, entre la partie pleine et la partie vide da tétraèdre. (Voyez Théorèmes et problèmes de géométrie élémentaire, 4»« édil., p. 396.)
74 ALGÈBHE.
94. Pile à base rectangulaire, — Les couclies de celle pile, qui a la forme d'un comble à quatre pentes ^ sont formées par des boulets rangés on rectangle. Si n et n -^ ;i sont les nombres de boulets contenus dans les côtés de la base, le nombre total des boulets qui la constituent est n (n-^p). La deuxième couche contient (n — 1) (n — 1 -+-p) boulets ; et ainsi de suite. Enfin , la n*^' couche est une simple file, contenant p -h 1 boulets.
Par conséquent,
^ = n(n-^p)'^(n — i) (n — i -f-p) -♦- ••• -*-'1 (I -t-p) = w'-+-(n — 1)'-+- • • H- <'-+-p[ii-t- (n — 4) H *- ^J»
ou enfin
7ft. Remarques. — L Cette dernière formule résulte, immédiatement, de ce que la pile proposée est décampasable en une pile à base carrée et en un prisme triangulaire.
II. La méthode employée dans le n^ 73 est souvent applicable. Proposons-nous, par exemple, de trouver la somme S des valeurs de la fonction i (i — 1) (2i-i-I), i devenant égal d 1, 2, 3, ... n. Nous aurons
ou, par les formules (3), (4), (5) :
n'(n-^l)* n(n-4-1)(2n-4-l) nin-k-i)
ou encore
S=-(n — i) n (/!-♦- i) (on -4- 4).
