IV. Si la série (1), convergente pour toutes les valeurs

{*) Ce théorème et cette démonstration, tirés da Cours éP Analyse de Slurm^ sont contestés par MM. Darhoux et Mouision. (Voir la Nouvelle Correspondance mathématique, tome III.)

(**) Par exemple, pour les Talears de x comprises entre 0 et i, la série

logarithmique

cd* af^ co^

converge plus rapidement que la progression

i -f-X-t-x'-hX' -♦-•••

de X comprises entre a et b, cesse d'être convergente lorsque X E= b , la formule (2) est encore vraie (*).

La formule (3) est démontrée pour toutes les valeurs de X comprises entre a et 6 — e, s désignant, suivant Tusage, une quantité positive et infiniment petite. Or, les deux membres de cette égalité (3) sont des fonctions de x, constamment égales; donc leurs valeurs extrêmes, finies ou infinies^ répondant k x = b, sont égales.

V. Chacune des formules (2), (3), (4) peut être considérée de deux manières différentes : 1** comme faisant connaître le développement d'une intégrale, indéfinie ou définie; ^ comme donnant la sommation d'une série. On a, par exemple (p. 1 52) :

■ dx X* x' X*

et , si Ton fait x = 1 :

i i i r^ dx

/« dx =1.2.

9t. Problème I. — Développer arc sin x. Si Ion représente par y cette fonction, on a

V= — =fi — x') ■=i-|--x'-i X*H X* -*-•••

Multipliant par dx, puis intégrant à partir de x=0,oq trouve la formule demandée :

arc sm X = X -*- - • 1 1 —- h- ••• (5)

C) On ajoute ordinairement, à cet énoncé : « pourvu que la série (S) soit convergente. » Nous pensons que ce complément n'est pas nécessaire.

INTÉGItATION PAR SÉRIES. 603

On en conclut, en faisant x=j :

ff ■ i 1.0 i.3.5 , ^

et» en supposant x = l, limite pour laquelle Tégalité subsiste (70, IV) :

îT . 4 4.3 1.3.5