L*équation fondamentale

ff{x)dx = f{b)-f[a) (1)

suppose la fonction f(x) finie et continue depuis x=a jusqu*à x=b. De plus, quand nous Tavons démontrée (3, 4), nous avons admis , tacitement, que les limites a, b étaient finies. Cette seconde hypothèse peut être écartée; et, pourvu que f(x) ne devienne pas infinie entre x=a et x=6, l'équation (1) dé finit , dans tous les cas, l'expression

ff(x) dx (").

Dès lors, si l'intégrale générale, 9 (x) h- C, devient infinie

(*) On irouve aisément

(**) Cependant, si l'intégrale générale devient diseoniinue, mais non infinie, pour x=sa, Tégalité (1) ne suffit plus : on la remplace par

J f(x)dx = f (6) -— lim f (a -♦- «) ,

C étant une quantité positiTe, inQnlment petite. La même remarque s'applique au cas ob la fonction f>{x) serait discontinue pour x=s6.

OU indéterminée pour x=a ou pour x=h, il en sera de même, ordinairement, pour IHntégrale définie. 95. Exemples :

/** dx

2* y^c'dx = [e'f=-f-oo;

3* r cos «dx = sin (oo ) :

rintégrale est indéterminée.

SU. Remarques. — I. Le dernier cas se présente toutes les fois que, Tune des limites étant infinie, la fonction f(x) est périodique, et, alternativement, positive et négative. En effet, rintégrale définie peut alors être assimilée à une série indéterminée. (Alg., 9.)

Soit, par exemple,

^^^^ "" r(i -♦- sin* x) '

probablement, la fonction (p(x) sera toujours inconnue. Néanmoins, si Ton prend d'abord 6 = 2n7r-4-a, et que Ton fasse

on a

y (5) <f (0) = lli -4- t<j -f- Ils -t- ••• -♦- Uu -*- I^«*'

Or,

donc

(*) La fraction '|^^*, prend la forme J quand sin j?= 0. Mais , comme la vraie valeur est zéro, aucun des éléments ds IHntégrale n*est infini.

sin'x