INTÉGRALES DÉFINIES DOUBLES

L Reprenons encore la formule

U=/dy//-(x,y)dx, (2)

mais en supposant que chacune des intégrales simples soit définie; et, pour plus de simplicité, admettons, en outre, que les limites des intégrations soient x<=0, x=a, y=0, yz=by a et 6 étant des conslantes (*). S*il en est ainsi, l'intégrale définie simple, /^ f {x, y) dx, est indépendante de x :

elle se réduit à une fonction de y. En désignant par Y cette fonction , on a donc

U=/Yrfy,

quantité indépendante de x et de y.

mi* Remarque. — Si la fonction /*(«, y) est décoaiposable en f^ (x) . f^ (y), la quantité U devient

ou plutôt

fr.{y)dyxfU{x)dx.

Ainsi, dans ce cas, l'intégrale éouble^ffi (x, y) dxdy, est égale au produit de deux intégrales simples {**),

(*) On verra , plus Ioîd , comment on traite le cas ota f intégrale douUe doit être étendue à toutes les valeurs de x et de y satisfaisant à unr inégalité donnée,

C*) Poisson a &it un heureux usage de cette remarque pour déterminer l^întégrale / «-«•do? , dont la valeur est J 1^.