TRANSFORMATION DANS LES INTÉGRALES DOUBLES

et supposons que Ton veuille substituer, à x, y, de nouvelles variables u, v, liées aux premières par les équations

On se tromperait étrangement si, après avoir remplacé X et y par leurs valeurs dans f(Xf y), on faisait

dxdy=i \-T-du -+---rfi;) {■-r-du -f--r^dv). ^ \du dv I \du dv I

En effet, la nouvelle différentielle, au lieu d'avoir la forme F (m, v) dudvy aurait celle-ci :

Arftt* + Bdudv -♦- Cdv\

Il est facile de comprendre la raison de cette anomalie apparente. Quand on intègre ((x^y^dx, on suppose y = const(9ù)'y donc Ton doit prendre, simultanément,

df dfp dr d^

rfx = •—- du -*- -7- du , 0 = -T-da -*- -r-dw; du dv du dv

ou, en éliminant Tune des nouvelles différentielles, dv, par exemple :

dx =

df dii

dw df du dv d'f

dv

du.

Lintégrale proposée devient, par cette première transformation,

dr'

df df du du dv dY

U =fdy / f{x, y)

du (•);

(*) U est soas-entendu que f{œ, y) doit être remplacée par sa valeur en ronciioD de u et de y.

OU y si 1 on intervertit l'ordre des intégrations,

V=/du I r(x,y)

df du

dv dr

di

dy.

Dans cette formule, Tintégration relative à y suppose u=const; donc, pour éliminer la variable y, on doit faire

dy = --~ dv, ^ dv

On a ainsi l'expression demandée :

dans laquelle x et y doivent être remplacées par leurs valeurs (2).

109. La comparaison des formules (1), (4) conduit à celte règle: ^/an^ proposée l'intégrale dot«6/cy^f(x,y)dxdy; si l'on veut transformer les variables Xy y en de nouvelles variables u , v, on doit faire

•^ \du dv dv du/ ^ '

Applleallona.

flOS. Si, 07, y étant des coordonnées rectangulaires, t«, v sont des coordonnées polaires, les formules (2) se réduisent à

x = ticosv, ^ = i;siiiv.

(*) Nous ne pouvons, dans uu ouvrage de la nature de celui-ci, iodiquer les formules relatives au cas de trois, quatre, ... n variables : le lecteur les trouvera, soit dans le Calcul intégral de M. Tabbé Moigno, soit dans le lome XIV des Mémoires couronnés par F Académie de Bruxelles.