CHAPITRE XII
PréllBiliiAirefl.
t06. On a déjà vu (4) en quoi elle consiste, du moins quand la courbe est rapportée à des coordonnées rectangulaires. Avant de passer à de nouvelles applications, nous ferons les remarques suivantes :
1® La différentielle ydx a le même signe que y. Par conséquent, si la courbe coupe Taxe des abscisses aux points B, D, F, ....
rintégrale
y ydx = aire OAB — aire BCD -♦- aire DEF — -.
L^application de la formule des quadratures peut donc conduire à un résultat négatif ou nul; et, par suite, à peu près illusoire. Du reste, si 6, d, /*, ... représentent les distances OB, OD, OF, ... les aires OAB, BCD, DEF, ... sont données par les intégrales :
■^y y^^^ —/'ydxy -^f ydx, etc.
S"" L'aire de la figure limitée par deux ordonnées AB ,
MPy et par deux courbes AM> A|M|, se calcule au moyen de la formule
pour équation
A=/'(y — y«)rfx.
y Si une courbe fermée, convexe, a
Faire de cette courbe est donnée par la formule
dans laquelle y^ , y^ représentent les deux valeurs réelles de y qui correspondent à une même valeur de x; et Xi, x^ le minimum et le maximum des valeurs que Ton peut attribuer è x. Ces limites X|, x^ sont déterminées par Téquation (1), jointe à
AppllCAtlOBII.
IMI. I. Calculer l'aire de l'ellipse représentée par x' — ary -I- y' — x — y — 2 = 0.
{*) D*après la formule
<lf
dy
dx
dx ~dF
ly
réqualion (3) exprime qu'aux points A, B, la tangente est parallèle à Taxe des ordonnées.
e28 CALCUL INTÉGRAL.
On tire, de cette équation ,
Les limites X| , Xj sont les valeurs de x qui annulent le
radical ; savoir
X| = — 4, Xt=H-5;
en sorte qu'il est inutile de former l'équation (3). La formule (2) devient
A = 1/3/"^ dx »/4 — (x — 1)'.
L'intégrale indéfinie est (84) :
1 (a: — 4 ) 1/4 — (x — i)' -*- 2 arc sin ^^^^ -♦- C;
donc, le radical s'annulant aux deux limites :
A = 2\/3 [arc sin (1) — arc sin (— i)];
ou
A = 27rV/5.
191, IL Calculer Faire de l'ellipse représentée par
y := ax + 6 =b m l/(x — x,) (x, — x). D'après la formule (2),
A = ^mf" dx ]/{x — X|) (X, — x).
Pour trouver cette intégrale, nous emploierons la iranformation connue (Sft, III) :
X Xi Xa Xi
sm' f cos f
Il en résulte :
X s= X| cos' f -*- Xj sin' f>, dx = {Xi — x%) sin 2fd?; puis
= — (x, — Xj)' Z*^ (1 — cos 45>) dî»;
c'esl-à-dire
On peut vérifier ce résultat en calculant les demi-axes de Tellipse, et en appliquant ensuite la formule démontrée dans le paragraphe suivant.
Ov*di**^vre de Telllpse*
