L'équation

donne

La seconde intégrale représente Taire de la partie du cercle dont le rayon est a, correspondant à la partie considérée de Tellipse : ces deux figures sont comprises entre les mêmes parallèles à Taxe des ordonnées. D'après l'égalité (4), ces aires sont dans le rapport \. Cette conclusion est évidente par la Géométrie. En particulier, si Ton appelle E Taire de Tellipse entière,

E = Tra . — = irao, a

ton. Remarques. — I. D'après la dernière formule, Vaire de l'ellipse est la moyenne géométrique entre les aires des cercles décrits sur les axes, pris comme diamètres. Si Ton considère la podaire de l'ellipse, relativement au centre, il est facile de prouver que Vaire de cette courbe est h moyenne arithmétique entre les aires des deux mêmes cerdes.

En effet, Téquation de la podaire étant

aV-4-6y = (x»-^y«)», ou

u* 7= a' cos* « H- 6' sîn* », (5)

on a

A=2/^(a«cos««^6^in«»)==r/^^[a*-+-6«-t-(a'— 6*)cos2«]d«;

ou bien