II. Si, avec Téquation (5), on prend celle-ci
«Al
tJ« =
o' cos* « -♦- 6* sin' w
qui représente Tellipse donnée (après un quart de révolution), on a
Ainsi, la podaire d'une ellipse, relativement au centre, est une transformée, par rayons vecteurs réciproques, de la même ellipse, après que celle-ci a fait un quart de rmlution.
flte. De y* = 2px,
on tire
ydx ==-l/2p. X* = r a?y.
Mais, si M S est la tangente, on a
PS = 2x , aire PMS = xy ;
^ ^* donc
AMP = - SMP,
et
MAM' = -MSM'.
Ainsi, le segment parabolique MAM' est les deux tiers du triangle formé par la corde MM' et les tangentes à ses extrémités (*).
lit. Prenons Téquation de Thyperbole sous la forme
xj/ = 1 , et comptons les aires à partir
de l'ordonnée AB du sommet. Nous
aurons
/^'dx
A = aire ABPM
Ainsi , Vaire déterminée par l'hyperbole équilatère, une asymptote, l'ordonnée du sommet et une ordonnée quelconque, est égale au logarithme népérien de l'abscisse correspondant à cette seconde ordonnée (**). Cette propriété remarquable a fait donner autrefois, aux logarithmes népériens, le nom de logarithmes hyperboliques (***).
(*) Ce théorème se trouve dans les Œuvres tTArchimède,
{**) On ne doit pas oublier que les abscisses sont comptées sur Tasymp-
tote, à partir du centre.
(***) La dénomioailoD de logarithmes népériens a été proposée par
Lacroix.
CALCUL INTËGRAL.
itS. Remarques. — I. Si Ton mène la droite OM, on a
Mais
donc
OAB + BAMP = AOMP + MOP.
aire MOP = - x . - == - = aire OAB;
aire AOM = aire BAMP = 1 . x f).
IL D*après la propriété fondamentale des logarithmes, si les valeurs de x croissent en progression par quotient, les valeurs de A sont les termes d^une progression par différence. Par exemple , si Ton suppose, successivement :
on aura :
JJ • 6j «*• — - C J J* " C • X ^^~ C y •■•
en sorte que l'aire de chacun des trapèzes ayant pour bases deux ordonnées consécutives est égale à 1 .
9a«4r«tare de la eyclolde.
lis. On sait que (p. 500), la tangente MT est parallèle h la corde M'A du cercle décrit sur AB comme diamètre.
!^ Donc
dx DM' DM'
dy""ÂD "" MP
{*) Ce résulUt m'a été indiqué par H. Petitbois.
La formule ordinaire est
AMP=/'ydx.
Elle devient, puisque y est maintenant la variable indépendante :
AMP =/' dy l/2ay — y«.
Cette intégrale représente Taire du demi-segment circulaire ADM'. On a donc ce théorème :
aire AMP = aire ADM' (*).
En particulier,
aire AEC = aire AM'B = - wo^
Et comme
AECB = Tra . 2a = ÎTra',
il s'ensuit que
aire ACB == Sîra* tto* = — tto*.
Par suite , fa cycloïde entière est équivalente à trois fois le cercle générateur (**).
{*) On peat le démontrer sans faire usage du signe /. En effet, la relation
(te DM'
étant mise sous la forme
MP.cte=sDM'.dy,
il en résulte que les éléments des aires AMP, ADM' sont respectivement égaux ; donc ces aires sont égales.
C*) On attribue à Galilée la découverte de celte propriété remarquable.
Emploi de« coordaBBée* polaires.
