Prenons Féquation

11 en résulte

dy = (a» — x'rx 'dx, puis

d< = f-} dx; et, par conséquent, en supposant « = 0 {K>ur x=0 :

«=-~(ax?)».

La longueur d*un quadrans de la courbe est donc

€*or4oiBBée« polaires.

tie. On a vu, dans le Calcul différentiel {tS9), ^lue I élément ds est donné par lequation

d«* = du' H- uV«'.

Si donc, comme on le suppose ordinairement, coest la variable indépendante, on aura

(*} Les formules de la page 507 cooduiseiit aa même résultat.

AppIlcall^Bfl.

!)••. I. On arrive à un résultat simple et remarquable si Ion prend la spirale logarithmiqtie, représentée par

u == ae~^y

et si Ton cherche la longueur de lare compris entre le pôle et le point situé à la distance a du pôle : cet arc est composé d une infinité de spires (*). Comme

du

da

= — ae-«

la formule (1) devient

« = al/2/*e-»d«;

ou, à cause de

ye-»rf» = — c-"-+-C:

« = ol/2.

Ainsi, lare dont il s'agit est équivalent à la diagonale du

catré construit sur a comme côté (**).

U. Soit encore la spirale d'Archimède, dont 1 équation

est

il en résulte, si Ton prend u pour variable indépendante :

C) En effet, le pôle est uo point asymplotique, délermiué par »=r-^« .

(**) Si Ton cherche les longueurs des spires successives, on trouve quVUes forment une progression par quotient, ayant pour premier terme 0^2(1 — e-'), et dont la raison est a-'. Conséquemmeni , la somme des longueurs des n premières spires a pour limite a 1^2.

Cette intégrale ne diffère pas de celle qui donne la longueur / de la parabole ayant pour équation x^=2aj/(l IS). Donc, en supposant x = ti, on aura l^=s. En d autres termes :

Si l'on construit la spirale d'Archimède et la parabole respectivement représentées par

que l'on prenne, sur la première couii)e, un point quelconque M , puis, sur la seconde, le point M' dont l'abscisse égale le rayon vecteur de M ; les arcs OM, OMS comptés à partir de l'origine, ont même longueur (*).