Soit y = f(x) réqiiation d'une courbe AB. Si l'on
considère le corps engendré par la figure ABB'A' tournant autour de OXf on peut prendre, pour élément, le volume du cylindre MPP'Q, c'est-à-dire ny'^dx.
En efiet, MQQ' est infiniment
formule est donc
petit par rapport à MPP'xM'. La
V = nC xj^dx.
Aipipllcattons.
ttt. I. Le volume cycloïdal, engendré par AMP, serait.
Mais (fis)
donc
V = nj^y V^lay — y Vy.
Pour intégrer, on remplace le facteur y par a — (a — /y); ce qui donne
V = aiipày V'-lay — y' — '^f\^ — ») ^^ Vlay — %f.
Daprès l*un des théorèmes démontrés ci-dessus (tts), la première intégrale égale aire AM'Q=3atre AMP; Fautre est i (iay — y»/= J Q>f ' ; donc
t7 = a7r.AM'Q QM' .
Dans le cas de la demi-cycloîde tournant autour de Ax,
17 = air . - ira' = - irV.
Cette expression représente la moitié du volume du tore engendré par le demi-cercle AB tournant autour de Ay.
II. Supposons que le demi-segment AQM tourne autour de Ay. En désignant par r| le nouveau volume, nous aurons
t?, = iry*Vdy. (I)
L'intégration par parties change cette formule en
r, = TTx'y — ^nf'xydx = irx'y — rj,
pourvu que Ion fasse
Vf = Sir y" xydx. (û)
D'ailleurs, nx'^y est le volume du cylindre engendré par
APQM ; donc
Vj == vol . APM.
A cause de dx]=dy [/^""^y
Vj = Sir^ X V^ay — y'rfy.
l'ne nouvelle intégration par parties donne
P xV -luy -^ yHy = x. AQM' —J'AQM'dx.
Le demi-segment circulaire AQM' a pour mesure
- a« arc cos— — ^ — ^ (« — y) l^2ay — y«;
t7, = 9r I a*x . arc ces — x (a — y) l/^ny — y*
— oy dx arc cos =^ -^-f' (a — y) rfx l/2ay — y' .
Posons arc cos ^^ = 29. II résulte, de cette transformation :
ys=^a sin* 0, dy = 4a sin 6 cos 6c{6,
2a — y "= 2a cos' fl, dx = 2a (1 h- cos 2fi) do,
dx arc cos ^ = 4a/* (1 -♦- cos 26) . fldô
= a (2e' -4- 2e sin 2a -♦- cos 2e — I), /*(« — y) ^ ^^2ay — y* == 2ay* (1 -i- cos 2e) cos 2e sin 2ede
[5 i In cos' 2e cos' 2e ; 6 2 5 J
puis
t, = 9r I a'x arc cos ^ — x (a — y) V/2ay — y'
— a' (2e» -♦- 2e sin 2e -^ cos 2e — ^ ) ) (3)
-♦- - a' (5 — 5 cos* 2e — 2 cos» 2e) 1.
Si le point M coïncide avec C :
y = 2a, x = 7ra, ^ = 2'
donc Vi = t?o/ACD = 7ra» (--♦-— ); (4)
et V, = vol ACB = Tra» (- ^* — |]* (5)
i9S. Remarque* — En fonction de la variable 0, les équations du point iM sont, comme on le reconnaît aisémeni :
X = a (Î2d -4- sin 2e) , y = a{\ — cos 26);
ou , si Ton remplace 28 par cp :
x = a(ç> -*- sin^), y==a(i — cos f>).
Par conséquent,
On a
(y-*-sin'j.)*sino=y*siu9H-y(i — cos2î>) -f- -(ôsiof — siu3&);
donc
r, = TT y x^dv = na^f (f -♦- sin ^)' sin fdf. (6)
/('^ -t-sin y)* sin ^dy = 5.' (- — cos^ -f- f (âsin y — -sin2?j
-f- - 15 cos f» — cos 2? -H ;; cos 3f I -4- C,
et
/ (f-*-sin ç.)'sin ^d? = -f' [7^ — cos yj -♦- ? (2sin 5» — -sin'?^
1/ i iô\
H- -(5cosy — cos2f -♦--C0S3? )•
Quand il s'agit de la demi-cycloïde tournant autour de Ofjy 0=— , cp = 7r : rinlégrale précédente se réduit à ^71* — |; et la formule (6) devient
comme précédemment (*).
(*) Ce calcul , plus simple que le premier, moutre , une fois de plus, combien le choix des transforma lions est important.
VOLUMES ET AIRES DES CORPS BE RÉVOLUTION. 647 ExieosiQii de la nélli«de«
t9â. Le volume d'un corps de révolution a pu être déterminé par une seule intégration , parce que les sections parallèles sont des cercles , dont les aires sont immédiatement connues. Le même procédé réussit toutes les fois que le corps considéré admet des sections parallèles semblables
et simples 9 telles que des cercles, des ellipses, etc. Considérons, par \ exemple, la surface engendrée par
une droite MN, de longueur don- / née, glissant sur deux droites AB,
^ CD, non situées dans un même
plan. En supposant, pour plus de ^ simplicité, que ces directrices soient
rectangulaires, on trouve aisément Téquation
x« if
y étant Fangle de la génératrice avec Taxe des z (*).
On peut prendre, pour élément du volume, un cylindre ayant pour hauteur dz. Les demi-axes de la base sont
(c-4-z)tgr, (c — «)tgr;
donc
(c' — z') dz = - jrc' ig' r .
(*) Sur le plan des xij, la droite MN se projeUe suivant une droite mn^ dont la longueur 1 est constante, et qui s'appuie sur les deux axes. De là résulte que le contour apparent de la surface, relatif au plan considéré, a pour projection la courbe représentée par
Oî» + j/» = l\
courbe dont il a été question plusieurs fois.
La section par le plan de xy est un cercle dont le rayon égale c tgy; donc le corps considéré est les | du cytindn de métne base et de même hauteur; et, si y=j, le même corps est équivalent à la sphère dont le rayon serait c.
Aires ûeu «arfaces de réTelnilan.
ttft. Si la courbe plane AB tourne autour de Oy, elle y engendre une surface de révolution,
dont réiément peut être supposé confondu avec la surface conique décrite par la corde MM'=df.
Ainsi
rfA =r 2ir I X -+- -dxj ds;
ou , en négligeant une quantité du deuxième ordre :
dX = ^nxds;
puis
A = 27ry" xds.
AppUemîl^n à l*elll|MeMe de réTolaUea.
flte. Soit
y étant supérieur à a. On a
ds='^,.W?I^Epl,
a ^ air — x'
donc
On simplifie cette formule en prenant y pour variable. En effet,
«' — x'=— y», xdx = -ydy,
L'intégrale indéfinie est (S6) conséquemment,
i ar' 1 r* . l/r' — «'
T -♦- -— î rare sin ,
puis
A = 7ra* + TT — arc sin (9)
ttl. Remarques. — I. Comme on a supposé 7>a, y>0, A représente (a moitié de l'aire de l'ellipsoïde de révoluiioHy allongé.
U. Si a devient égal à y^ le second terme prend la forme §. Mais
^tm • arc sm = i ;
donc
En effet, Taire de la sphère est inofl.
I. Calculer le volume de Tellipsoîde de révolution représenté par
x' -♦- y' -4- js' -4- jcy -+- yz -H zx = a*.
