CHAPITRE XV
§•8. Soit d'abord un corps terminé par une surface %l donnée CDEF, par les
ol plans coordonnés y et
par deux plans ADEG, BGEF, respectivement parallèles à yz et xz.
On prend, pour élément du volume, le petit parallélipipède X MNPQM'N'P Q' ayant pour base dxdj/y et dans lequel Mt/l' = z; en sorte que
dv = zdxdy.
Si on laisse x constant, et que Ton fasse varier j^, de 0 à OBs=zby on aura le volume d'une tranclie parallèle au plan yz : ce volume est dx^ zdy. Comme z=:f(x, y), le
résultat est de la forme 9 (x) dx. il faut ensuite faire la somme de toutes les tranches, c'est-à-dire intégrer
f (x) dx = dxf zdyy
de x = 0 à x = a» On a donc
V =^ f^ dx j zdy ;
en sorte que le volume v est donné par une intégrale double.
!••• ConsidéronSi en second lieu, nn corps limité par une surface donnée; et, pour plus de simplicité, suppo> sonS'Ia convexe. L'élément du volume sera (z, — z^)dxdy', d'où résulte
Dans cette formule :
1° Zfy z^ sont les deux valeurs réelles de z, tirées de F(Xyy,z)=0, équation de la surface donnée;
^ Vf» Vs sont la plus petite et la plus grande valeur de y qui répondent à une même valeur de x, dans TéquatioD <p (Xy y)=0 du cylindre circonscrit à la surface (p. 544);
3® X|y x^ sont le minimum et le maximum de x, tir^ de cette dernière équation : ces limites sont des constantes.
f 80. I. Soit la sphère représentée par
(X — a)« ^ (y — bf + (z — cf = R* ;
et, pour fixer les idées , admettons qu'elle soit située dans Tangle des coordonnées positives.
On a
z = cdrV/R« — (x — o)^ — (y — 6)«;
donci par la formule (1),
V = ij^dxf'dy \/r«(x — a)« — (y — 6)*.
»i yi
Le cylindre circonscrit, parallèle à Taxe des z, a pour
équation
(x-o)•-*.(y-6)• = R^ ainsi
De plus ,
Xi = a — R, a:j = a-HR.
Soient 9 pour un instant,
rintégrale relative à y est
iYV/p« — Y« + ip'arcsin-
-t- - FR' — (x — a)'l arc sin ^ ""
V/R« — (X — af
Le premier terme s'annule pour y==^yi et pour y=yi; le second devient
(Jonc, par soustraction,
puis
V = ^/'*[R' — (x — a)«] rfx.
L'inlégrale indéfinie est
R'x — -(x — af-i-C;
eonséquemment
v = 7rrR«(a-hR)— R«(a-.R) — ^R' — iR»l = 7rR\
e54 CALCUL INTÉGRAL.
La surface est symétrique par rapport à tous les phstf coordonnés; ainsi, Ton peut prendre
«=— ^ xdx^'* dy\/a* — x* — y\ en supposant
La première intégrale a pour valeur
t-yl^g* — x' — v'-f-Tfa* — ar'^arcsin ^ — \\
ou
âîr /*• ira*
L Volume commun au paraboloîde et au cylindre dont les équations sont
y* H- 2* = 4ax, X* -*- y* = 2ox.
H. Même question, les équations étant
y* -+- z' = ax, x' -♦- y* = 2ax.
IIL Trouver le volume de Thyperboloîde à une nappe,
limité par deux plans parallèles au plan de Tellipse de goi^.
