III. La série du binôme
M^ convergente lorsque la variable x e5f comprise entre -+- 1 W — 1.
Dans ee cas ,
donc
fi^, m — n H- i w —
lim = — x;
leur absolue.
!•• Théorème VII. — Si les termes décroissent indéfiniment, et qu'ils soient alternativement positifs et négatifs, la série est convergente.
Soit la série
dans laquelle nous supposons
wi > ti, > t/, > .... > Un-i >Un> ^^i > > 0 r*),
(•) La série logarithmique, divergente pour a? = -h 1 (• ■), est conwrjen/tf pour a? = — i (!•).
(•*) Cette série, développement de (1 -♦-a:)'*, est encore convergente lorsque a;=d=1, m étant positif, ou lorsque a; := 1, m étant compris entre 0 et — 1. {Comptes rendus de C Académie des sciences, 26 octobre 1857.)
(***) Si les premiers termes ne satisfaisaient pas à ces conditions , on
et, en outre,
liin 11, s= 0.
Si, pour Gxer les idées, nous supposons n pair, nous aurons
S, = t/|— II,,
S» = (W| — tt,) H- 11, = 11, — (il, — 11,) ,
S* = («1 — Ut) -+- (W, — Ut) = II, — - (il, — 1/5) — «4»
S„ = (i/| — ti,) -*- (iij — 114) H- -i- (w^, — w,),
« II, — (il, — Ils) — (W4 — «s) (W—, — tl.-i)— l*„.
On voit que les sommes de rang impair vont en diminuant, et les autres, en augmentant. En outre, chaque somme, à indice impair, surpasse la somme à indice pair, qui la suit immédiatement. On a donc
Si > S, > S. > > S.„
Ainsi : i^ les premières sommes ont une limite; 2* les secondes sommes ont une limite.
D*aiileurs, la différence
représeotei-ait par ii| le terme à partir duquel, la série devenant régulière, elles soDl A'éritiées. Par exemple, dans le cas de la série
1 1.2 1.2.3 ' ciiee plus haut (8), on ferait
M. = » «-=--; =î — U.. «3= rU.,etC.
a pour limite zéro ; donc ces deux limites ont une valeur commune S, comprise entre deux sommes consécutives quelconques,
••• Remarques. — I. Le raisonnemenl précédent peut être rendu encore plus clair au moyen d'une construction géométrique.
X 0 At A4 A„ A,4 A5 A| y
Sur une droite indéfinie xy portons, à partir d'un point fixe O y et de gauche à droite, la distance 0 A| proportionnelle à ti>| ; puis, à partir de A^, et de droite à gauche, la distance A^iAj proportionnelle à 1(2; puis, à partir de A<|, et de gauche à droite, la distance A^^A^ proportionnelle à Ug ; etc. A cause de t^j < ti^ , le point A2 tombe entre 0 et A 1 . De même, à cause de u^ < u^, le point A3 tombe entre A^ et A2; etc. De là résulte, pour ainsi dire, que les points à indice impair marchent de droite à gauche, et que les points à indice pair, toujours situés à la gauche des premiers, marchent de gauche à droite. D'ailleurs Tintervalle A.jA„, proportionnel à u„, a pour limite zéro. Donc les points Af, A5, Ajj, ... A^i, d'une part, et les points A^, A4, Ag, ... A„, de l'autre, tendent vers un point-limite L, compris entre Aj et A2. entre A3 et A4, ... entre A,^, et A„; ou, ce qui est équivalent : les sommes décroissantes 81,83,85, ... S„, , et les sommes croissantes Sj, 84, Sg, ... 8„, convergent vers une limite commune S, représentée par OL.
II. 8i les termes, alternativement positifs et négatifs, et décroissants, tendaient vers une limite X différente de zéro, la série serait indéterminée. En effet, les sommes 8|, 83, S5, ... S,..4 iraient encore en diminuant, et les sommes Sj, 84, ..., S„, respectivement moindres que les premières,
iraient encore en augmentant; en sorte que les unes et les autres auraient des limites. Mais, à cause de
lim u„ = lim (S,, — S„) == >,
on aurait
lim S,^| — lim S„ = x.
Ainsi, la limite des sommes de rang impair serait égale à la limite des sommes de rang pair, augmentée de X (*).
(*). Exemple :
Si ToD prend un nombre pair de termes,
-Hh(l-h-H^-
2n-Hi 2fi
2 3 4 2fi-l 2n'
donc (fi S) /tmS„s=1.2.
Si Ton en prend un nombre impair,
\2 3/ ^4 Si y in in-i-i)
