CHAPITRE VI
•5. Les logarithmes vulgaires , ou logarithmes de Briggs (*), sont ceux que Ton trouve en partant des progressions
1, 10, iOO, 1000, ...,
la base du système est 10. Indépendamment des propriétés générales, ces logarithmes possèdent celles-ci, qu'il suffit d'énoncer :
1® Le logarithme d'un nombre entier quelconque a pour partie entière (**) un nombre formé d'autant d'unités moins une qu'il y a de chiffres dans ce nombre entier;
2** Pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000,..., i7 suffit d'ajouter 1,2, 3, ..., unités à la caractéristique de son logarithme ;
Z^ Si deux nombres décimaux ne diffèrent que par le rang de la virgule, leurs logarithmes ne diffèrent que par la caractéristique.
(*) Henri Briggs calcula les logarithmes des nombres compris entre I et 10 000, et les logarithmes des nombres compris entré 90 000 et 100 000. Son ouvrage, intitulé Arithmetica logarithmica, parut à Londres en 1634.
MM. Namur et Mansion tiennent de publier des (Mes composées d*une vingtaine de pages, et qui, néanmoins, permettent d'écrire, avec douze décimales, les logarithmes des nombres entiers, de 1 à 434 biliions!
{**) On sait que cette partie entière est appelée caractérislique.
APPLICATIONS DES LOGAItlTUMES. «»
••. Logarithmes des fractions. — L'identité
donne , « . ^ ^
log---+-log- = 0, 6 a
ou , « . &
ïogT = — log-.
Ainsi, le logarithme d'une fraction proprement dite est égal au logarithme de la fraction renversée^ pris en signe contraire (se, 6**).
11 résulte de là que les fractions 0,1, 0,01, 0,001,.,., ont pour logarithmes, respectivement, — d, — 2, — 3, .... De même
H (^) = — Jog N.
Réciproquement, le nombre correspondant à un logarithme négatif a la forme ^ , N étant le nombre correspondant au logarithme donné, pris positivement,
M. Logarithmes à caractéristique négative et à partie décimale positive. — Les fractions de la forme ^ étant peu commodes dans les calculs, surtout quand le dénominateur IV est accompagné de décimales, on fait, sur les logarithmes entièrement négatifs, une transformation qui équivaut à la réduction de ^ en décimales.
Soit, pour fixer les idées,
On trouve, dans la Table de Callet (*),
log 257 = 2,5747484 log 87 852 = 4,9457517
Par suite, log x = — 2,5690055
(•) Pour la disposition des Tables de Callet, la proportion loyarUhmique, etc., voyez le Manuel du Baccalauréat, Alg., tl^ 20.
*M ALGEBRE.
Ajoutons, à log x, le nombre entier inimédiatemeoi supérieur à — log Xy puis retranchons-le; nous aurons
log X = 3 — 2.5690053 — 3 = 0>509967 — 3.
Pour abréger, apportons la partie négative — 3 à la place de la caractéristique 0; et, pour éviter toute ambiguïté, plaçons le signe — au-dessus du chiffre 3 : il vient
log X = 3>309967.
La comparaison de ce nouveau logarithme avec celui qui est écrit plus haul, donne cette règle générale :
Pour transformer un logarithme^ entièrement négatifs en un logarithme à caractéristique négative et à partie décimale positive, placez le signe — au^essus de la caractéristiquej après l'avoir augmentée d'une unité, et écrivez, à la suite de cette nouvelle caractéristique, le complément (*) de la partie décimale du logarithme donné.
•9. Nous avons dit que cette transformation équivaut à une réduction de fraction ordinaire en fraction décimale. Pour le faire voir, reprenons la fraction g^^. Si nous la midtiplions par une puissance de 10 qui rende le produit plus grand que 1 et plus petit que 10, nous aurons, en divisant en même temps par cette puissance,
d'où , , 237 000 ^
Mais,
237 000 log ^^^^^ = log 237 + 3 - log 87 852
= 3 — (log 87 852 — log 237);
(*) Le complément d'une fraction décimale proprement dite est ce qu*il y faut s^outer pour obtenir i*unité.
donc
log X = 5 — 2,5690033 — 3 = 0,4309967 — 3,
ou
log X = 5,4509967,
comme ci-dessus.
0#. Remarque. — Le logarithme 5,4309967 correspond
à la fraction décimale "^ , laquelle, d'après ce qui précède, est comprise entre 0,001 et 0,01. Il résulte, de cette observation, que le nombre correspondant à un logarithme dont la caractéristique seule est négative est une fraction décmeUe proprement dite, dans laquelle le premier chiffre significatif occupe, à partir de la virgule^ un rang marqué par cette caractéristique,
IlMi^e des Tables de Callel.
t#0. Problême I. — Trouver le logarithme d'un nombre donné.
Premier cas. — Le nombre est entier, et plus petit que 108000.
Le logarithme est inscrit dans la Table, sauf la caractéristique, qui est connue à Tavance (95, 1%
Deuxième cas. — Le nombre est entier, et plus grand que iOS 000.
Soit le nombre rc = 2 647 853. Séparons assez de chiffres, sur la droite de ce nombre, pour que la partie restant à gauche soit comprise entre 10 000 et 108 000 ; nous aurons
et la partie décimale du logarithme de ce dernier nombre égale celle du logarithme de x. On trouve, dans la Table,
log 26 478 = 4,4228852.
Il ne s'agit donc plus que de calculer la diflërence S entre ce dernier logarithme et celui de 26 478,53. Pour cela, posons la proportion
26 479 — 26 478 log 26 479 - log 26 478
26 478,53 — 26 478 ~" log 26 478,53 — log 26 478*
ou
1 diff. tab.
Elle donne
(?= diff. tob. X 0,53 = i64 X 0,53.
Pour épargner au calculateur la peine d'effectuer la petite multiplication que nous rencontrons ici, on a inscrit, dans la Table, les produits de 164 par 0,1, 0,2, etc., ces produits étant toujours exprimés en unités du septième ordre décimal. D'après cela, nous aurons
Puis, en ajoutant cette différence au logarithme de 26 478 :
log 26 748,53 = 4,4228959 ,
et enûn
log 2 674 853 = 6,4228939.
Voici la disposition du calcul :
log 26 478 =6,4228852 0 pour 0,5 .... 82
pour 0,03 .... 5
(*) Il n^esl pas nécessaire de modifier la caractéristique : on en écrit tout de saite la valeur définitive.
ÂPPLIGÂTIOISS DES LOGARITHMES. 99
Troisième cas. — Le nombre contient des décimales.
On fait abstraction de la virgule, et Ion retombe sur les cas précédents.
Quatrième cas. — Le nombre donné est une fraction»
On a vu, ci-dessus, comment le logarithme d'une fraction se déduit des logarithmes des deux termes.
toi. Problème II. — Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspondant.
Premier cas. — Le logarithme se trouve dans la Table.
Nous supposons que le lecteur connaît la disposition des Tables : ce premier cas n'exige donc aucune explication.
Deuxième cas. — Le logarithîne donné tombe entre deux logarithmes consécutifs de la Table.
Soit logx = 5,6774237.
En cherchant dans la Table, on trouve que le logarithme
qui approche le plus du log x, par défaut, est 6 774 1 53 (*) ;
le nombre correspondant à ce dernier logarithme est 47 579 ;
donc
0 étant inférieur à Funité.
Pour évaluer d, on suppose encore les différences entre les nombres proportionnelles aux différences entre les logarithmes, c'est-à-dire que Ton écrit
T""" diff. tab.
ou
Si Ton réduisait cette fraction en décimales, on trouve-
n Dans la recherche du nombre correspondant à un logarithme donné, OD De fait atlenlion à la caractéristique que pour déterminer, en dernier lieu, la place de la virgule.
rait d =» 0^92 ; mais les Telles de Callet permelteot encore d éviter ce calcul. En effet, en parcourant la petite colonne des différences, on lit 9 en regard de 82; donc 3 se compose d abord de 0,9. Ensuite , si Ton place un zéro à la droite de 84 — 83 = 2, on a 20 pour produit. Or, dans la même petite Table, 18 répond à 2 dixièmes; donc 20 correspond, à fort peu près, à 2 centièmes. La seconde partie de d est donc cette dernière fraction, en sorte que 3 >= 0,92, comme ci^dessus.
En revenant à la recherche qui nous occupe, nous aurons x=47 579,92. Mais la caractéristique donnée était 3; donc
enfin,
af = 4 757,992,
à moins de 0^001.
Voici le type du calcul :
log X = 3,6774237 log47 579= ,6774153
pour 82 9
pour 2 2
Troisième cas. — Le logarithme donné est entièrement négatif.
Soit log « = — 47248374.
Posons log N ==» 4,7248374 ; nous trouverons
N = 53 068,57; donc (Ml)
Quatrième cas. — La caractéristique seule est négative. On a vu, ci-dessus (•©), ce qu'il faut faire pour trouver le nombre correspondant.
€«levl« nniiiérlqae*.
ûm9. Premier exemple :
log X = -: log 52 678,47 — - log 923 744,18. 3 4
log 52 678,47 = 4,7216332
log 923 740 = 5,9655497 4.... 19 0,1 0
Jog 923 744,18 = 5,9655516
log X = 0,0824898 nombre corresp. 12 091 .... 4622
0,7 pour,,,. 276
0,06 pour .... 23
tOS. Deuxième exemple :
>og X = - [log 0,000 584 74 ^- - log ^^^^J
— -flog 724 674 -f- -log 0,000 674 237 sl.
log 89 748 = 4,9550248 log 124 725 = 5,0959466
log = i ,8570782
log 0,000 584 74 = 4,5851 675 -*-
log 0,000 674 257 5 = 4,8288150
log 724 674 = 5,8601427 -*-
log x = 2,1067552; jr = 0,012 786 0.
(*) Pour prendre le J de 7,8570782, on observe que ce logarithme — 1 -4- 0,8570782 = — 3 -h 2,8570782 , en rendant la caractéristique divisible par 3. Par suite
i (î,8570782) = — 1 -+- 1 2,8570782 = r,9523594. On opère de même dans tous les cas analogues à celui-là.
t04. Troisième exemple :
log X = lOff <
® 157 ^828 log 829 = 2,91855453 log 828 = 2,91803034
log = 0,00052419
log a- = X 0,000 524 1 9.
Pour éviter la miilliplicaiion par —, prenons les logarithmes des deux membres; nous aurons
log log X = log -— H- log 0,000 524 1 9.
log 361 = 2,5575072 -+-
log 157 = 2,1 958996 —
log 0,000 524 1 9 = 4,71 94887 -t-
log log X = 3,0810963 log x = 0,0012053; X = 1 ,002 78.
105. Quatrième exemple : Quelle est la plus petite valeur entière de n satisfaisant à l'inégalité
En prenant les logarithmes, puis les logarithmes des logarithmes, on a :
,. 200 000 , , 100 log n > log log — log log—
log 200 000 = 5,50103000 Iog3 = 0>77i2i23
log — - — = 4,82390875
log log — ^0,6833991 -t-
log 100 = 2,
log 99 = 1,995655i9
log = 0,00436481
log log -—- = 3,6399653 —
donc
log«> 3,0434338; n = H06.
ton* Cinquième exemple : Résoudre Vinégalité /100\" 2 000r /99\'""1
Commençons par calculer, approximativement,
log 99 150 log 99 150 log 100
\iOO/
Ce dernier nombre étant un peu supérieur à \ — ^^J , il s*ensuit que Ton vérifiera l'inégalité proposée , si Ton satisfait à celle-ci :
On tire, de cette dernière,
' log 2 000 -f- log 0,778 55 — log 5
^"^ log 100 — log 99
log 2 000 = 3,3010300 -+log 0,778 55 = 1,8912865 -♦log 3 =0,4771 212 —
2,7151953-+logl00 = 2 log 99 = 1,9956352
Donc
ou
