Sixième exemple

(i,ir«»»

log X = 50 001 log 1 ,1 — log 50 001

iOO ALGEBRE.

50 OOi log \ ,i = 2069,675 892 69 log 50 001 = 4,698 978 7 —

X = 94 822 êuivi de devac mille ioixanU chiffra.

f 08. Septième exemple : Qitelle est la plus petite valeur entière de x qui mrifie l'inégalité

ilil^ > 250?

Si Ton essaie ac = 100 et x = 200, on trouve , à cause de log 250 = 2,397 9400 :

1001ogl,i-Iog 100=4,139 269 -2 =2,159 269 < log 250,

200 log 1,1 -log 200 =8,278 558-2,501 030 = 5,977 608 > log 250.

De plus, on voit que le nombre cherché est beaucoup plus près de 100 que de 200. x = 1 10 donne

110 log 1,1 -log 110=4,553 1959-2,041 5927=2,511 8033>log250.

On trouve ensuite

lJL L<250, l-:-l>250; 106 107 '

donc la valeur demandée est 107. En effet ,

(i,ir

Réflolntlon de« éqnalleiis exponentielles.

t09. On appelle équation exponentielle celle qui a la

forme

(*) On peut comparer celle soluUon à celle que nous avons donnée cidessus (9 1).

X étant rinconnue. Lorsque, comme on le suppose habituellement, a et 6 sont des quantités positives , cette équation admet toujours une solution réelle (^t). Pour la déterminer, il suiiit de prendre les logarithmes des deux membres, dans un système quelconque. En effet, on trouve ainsi

xloga<=]og6, ou

loga

fflO. Remarque. — Quand les constantes a, b sont toutes, deux plus grandes ou toutes deux plus petites que luoité, la valeur de x est positive; elle est négative dans le cas contraire.

Des Intérêto eomposés, et des annaltés.

fit. Une somme est placée à intérêt composé quand le prêteur, au lieu de recevoir, à la fin de chaque année, /ïwtérét simple qui lui est dû, le laisse à la disposition de Temprunteur, de manière à augmenter le capital.

L^intérét composé , tel qu'il vient d'être défini, donne Heu aux problèines suivants :

119. Problème I. — Quelle est, au bout de n années, la valeur A d'un capital a placé à intérêt composé, le taux étant de vpour franc par an?

r étant l'intérêt de 1 franc, ou, plus exactement, r étant le rapport entre cet intérêt et 1 franc, il s'ensuit que 1 franc vaut, à la fin de Tannée, 1^ X (1 -H r). Par suite, un capital quelconque a vaut, au bout d'un an, a (1 -»- r) = a'.

Si, à la fin de l'année, l'emprunteur ne paie aucun inté-

n Les inégalités proposées dans les n^* €•« el !•« ont été résolues par ce moyen.

rét au préteur 9 il jouit, pendant Tannée suivante , de cet intérêt et du capital a : les choses se passent comme si, au lieu d*avoir reçu primitivement a, Temprunteur avait reçu la somme a' au commencement de la deuxième année (*). Conséquemment, et diaprés la formule précédente, le capital a vaut, après deux ans ,

a'(iH-r) = o(i-4-r)'.

En répétant le même raisonnement, on trouve

IIS. Problème II. — Après combien d'années un capital Q, placé à intérêt composé ^ acquiert-il la valeur A?

Il est clair qu'il s'agit de résoudre Péquation (1), par rapport à n. Cette resolution se fait commodément au moyen des logarithmes; elle donne (too)

log A — log a

"" log(i-+-r)

tiâ. Problème III. — Quelle valeur produira-t-on au bout de n années, si l'on place, au commencement de chacune, un même capital a, et qu'on accumule^ avec toutes ces sommes, leurs intérêts composés?

D'après la formule (1), celte valeur est la somme s des termes de la progression par quotient :

a(i-4-r)", a(i-+-r)-*, ..., a(1-4-r); donc

flfl&. Problême IV. — Quelle somme b doit-on payer

{*) On peut encore supposer que l'emprunteur rende, au préteur, le capital af, et qu'il le reprenne aussitôt.

annuellementfpour amortir, au bout de n années, un capital a et ses intérêts composés?

Cette somme 6 est ce qu*on appelle une annuité. Pour la déterminer, il suiSt d exprimer que la valeur du capital a,k la fin de la n**^ année, est égale à la somme des valeurs desn annuités, au bout de ce même temps. On trouve ainsi, en appelant r Tintérét de 1 franc,

a{l-^r)'«=6(i-^f)"-*-4-6(iH-r)"-«H-...-^6(lH-r)-*-6,

Cette formule générale donne la solution de diverses questions relatives aux annuités.

Si, par exemple, on veut trouver combien il faut (Tannées pour amortir un capital a, au moyen d'annuités égales à b, on devra résoudre Téquation (2) par rapport à n. Or, en faisant passer (1 ■+■ r)" dans le premier membre , on obtient d'abord

(i-i-r)"(6 — ar) = 6;

puis, en prenant les logarithmes des deux membres,

log 6 — log (6 — ar) "== log(i-Hr) ('^

!!•• Discussion. — 1* Si Ton suppose 6 > ar, c'est-àdire si ^annuité surpasse l'intérêt simple du capital, la formule (3) donne, pour n, une valeur finie et positive. Cette valeur est d'autant plus grande , que l'excès de 6 sur ar est petit.

2° Si 6 = ar,

log 6 — log 0

log (i -H r) Or, log 0= — 00 ; donc n=-f- oo . Il est facile d'interpréter

110 algèbue.

ce résultat : quand Temprunteur ne paie, à la fin de chaque année, que Fintérét simple du capital, il doit toujours le capital ; on ne peut donc demander à quelle époque la dette sera éteinte.

Ce cas est celui des rentes perpétuelles.

3° Enfin, si Ton suppose 6 <iary c'est-à-dire si /'annt«7é est moindre que l'intérêt simple du capital, le second membre de la formule contient le logarithme d'une quantité négative; cette formule ne donne donc aucune valeur réelle pourn (8«, 7°). C'est ce qu'il est encore facile d'expliquer.

En effet, on vient de voir que la dette est constante si l'annuité est égale à l'intérêt simple; donc, quand elle est inférieure à celui-ci, la dette, au lieu de diminuer, augmente sans cesse. Ce résultat, qui peut paraître étrange, est une conséquence naturelle du principe de Vintérét proportiofinel au temps.

I. Pendant combien d'années doit-on laisser un capital, placé à 4 ^ pour 100, pour que la valeur en soit décuplée?

Réponse : Pendant un peu plus de 52 ans.

II. Thomas Parr vécut 152 ans (*). Si, à partir de sa vingt-cinquième année, il avait placé tous les ans, au taux de 6 pour 100, une somme de 10 livres sterling, combien ses héritiers auraient-ils dû recevoir à sa mort"^

Réponse : 28 900 livres.

III. Après combien d'années aura-t-on amorti un capital de 100 francs, emprunté à 5 pour cent, si l'on paie, annuellement, 5010?

Réponse : Au bout d'environ 80 ans.

(*) Il mourut en 1654.

IV. Combien vaudra, à la fin de 1899, une somme de I franc, placée, à 5 pour 100, au commencement de Tan 800?

Réponse : 203 300 000 000 000 000 000 000 francs.