Si, dans réquation à deux variables

on attribue à x un accroissement h (*),y prend un accroissement correspondant k^ déterminé par la relation

La valeur de cet accroissement est donc

/fc = /*(xH-A) — /-(x).

Par suite, le rapport entre V accroissement de la fonction et Y accroissement de la variable a pour expression

kfjx-^h)- f{x)

Cela posé, si h diminue indéfiniment, il en est de même

(*) L'accroissement h peut être positif ou négatif : ordinairement, on le suppose positif.

ili ALGEBRE.

pour k. Mais comme» à chaque instant, le rapport j^ a une valeur déterminée, on conçoit que cette valeur tend vers une certaine limite, qu*elle atteint seulement lorsque A, el par suite A:, sont devenus égaux à zéro. Cette limite, qui dépend de la nature de la fonction f(x\ est dite la dérivée de f(x). Par conséquent ,

(hi appelle dérivée d'une fonction la limite vers laquelle tend le rapport entre l'accroissement de cette fonction et l'accroissement de la variable, lorsque celui-ci tend vers zéro.

118. Remarque. — Si, dans I équation (2), on suppose A=0, le second membre devient J. Par suite, pour trouver directement la dérivée d'une fonction, on devra, dans la plupart des cas, mettre le rapport^ sous une forme telle, (|ue la limite de ce rapport, ccst-à-dire la dérivée, ne semble plus indéterminée.

tf •• Soit, par exemple,

y = f{^) = Jc' — 2x -+- 7;

alors puis

y -f- fc = (x -+- A)' — 2 (x -+- A) -h 7,

k __ 5x'A -+- 5xA» -4- A» — 2A h^ Â

Si Ion faisait tout de suite A = 0, le numérateur s'annulerait en môme temps que le dénominateur; mais, A étant facteur commun aux deux termes, on a

-=5x'-i-3xA-t-A« — 2.

Actuellement , si A tend vers zéro , les termes 3xA et A^ diminuent indéfiniment, tandis que les autres sont constants. Donc

k Hin-- = r(x) = 3x« — 2.

Nous venons de vérifier, dans un cas très-simple, IVxis-

tence de la dérivée; celte vérification a été faite sur toutes les fonctions que considère l'Analyse. On peut d'ailleurs, de la manière suivante, rattacher la théorie des dérivées à la théorie des tangentes.

t90. Théorème. — Le coefficient angulaire de la tangente à une courbe est égal à la déiivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse.

On sait que la tangente MT à une courbe AB, en un point M, est la limite des positions d'une sécante MM'S qui tourne autour du point M, supposé fixe, jusqu'à ce que le second point M' d'intersection vienne se confondre avec le premier.

Cela posé, et y=f(x) étant l'équation de AB, menons iMR parallèle à Ox. Soient alors x, y les coordonnées du point M, et or -+- A, y -h A* les coordonnées du point M' ; de sorte que h représente l'accroissement PP' de l'abscisse OP, et k raecroissement M'R de l'ordonnée PM. Lorsque le point M' parcourt l'arc BM, en se rapprochant de M, le coefficient angulaire de la sécante MM' est, à chaque instant, égal à ^, c'est-à-dire égal à J. Si donc a est le coefficient angulaire de la tangente MT, on a simultanément, à cause des triangles semblables MM'R, S'MP ;

T'P lim . S'P

= lim

k Ti

iMP