MP ST MP

]im--=lim h S'P

puis, par la définition de la dérivée (tt7),

r{x)=ii. (5)

t»t. Remarque. — Cette équation fondamentale est en

défaut dans un seul cas : celui où la tangente MT n'existerait pas {*). En le laissant de côté, on conclut, du théorème précédent, que toute fonction continue a une dérivée. t9M. Expressions du rapport-^. — I. Ce rapport ayant pour limite f (x), on peut le représenter par /* (x) -h s, s étant une quantité qui s'annule avec h. Ainsi ,

ou k = h [f (x) H- e],

II. Si, comme le suppose la figure, les fonctions f(x\ f (x) restent continues depuis le point M, dont labscisse est x, jusqu'au point M', dont labscisse est xh-&, l'arc convexe MEM' adniei au moins une tangente CD

parallèle à MM'. Soit a Tabscisse du point de contact E.

D'après l'équation (5),

La quantité a, intermédiaire entre x et x + A, peut être représentée par oc -*- 9A, 6 étant une fraction proprement dite. Donc

^ = /•' (X -H eh).

t!98« DéfHvée de la variable indépendante. — S^ l'équation (1) se réduit à ,v = x, l'accroissement A: devient égal

{*) Les courbes représentées par

t/=:a;sin— , y = a?sin(la?),eic

n'0Dtp<» de tangente à Vorigine.

THÉOUIE pES DÉRIVÉES. 117

à raccroissemeiU A. Donc | = 1 , lim | = y'= ^ : la dérivée de la variable indépendante est égale à l'unité (*).

194. Dérivée d'une constante. — Elle est évidemment zéro (**).

DérlTée d^nne «oiiiiiie} d^uu prodoU^ ete.

t95« Dérivée d'une somme. — Soient m, t?, lu, ... des fonctions de x, dont les dérivées w', v\ w\ ... sont supposées connues , et soit y la fonction formée avec les premières, par voie d'addition ou de soustraction, de sorte que

Donnons à x un accroissement quelconque Ax (***) :u, v, Wy ...» y prendront les accroissements correspondants Au , At;, Aw, ..., Aj/; et nous aurons

puis, en retranchant membre à membre,

Ay = AU -H Al? — AW -*- • • • (****).

Divisant tous les termes par Ax, et passant à la limite, nous trouvons

Ay AU AU AIT

lim -^ = Jim h lim lira h •••;