II. En divisant membre à membre les égalités (6) et
on obtient
Par conséquent, le rapport entre la dérivée (Tun produit et ce produit, est égal à la somme des résultats que l'on obtient en divisant la dérivée de chaque facteur par ce facteur.
*ît8. Dérivée d'un produit de plusieurs facteurs. — \ous commencerons par faire voir que si la dernière proposition est vraie dans le cas de n — 1 facteurs, elle subsiste pour n facteurs : ce lemme étant démontré, la proposition sera générale, puisqu'elle a lieu dans le cas de deux facteurs.
Soit 1/ = ti| . 1/s . t/s ... ««i . «„ ,
ou
en posant
Par hypothèse,
D'ailleurs
P Vi II, ti„
donc
y tii Ut î^-i u,
ce qu'il fallait démontrer.
Actuellement, multiplions par y = n^u^ u„ les deux
membres de la dernière égalité; nous aurons
Ainsi, la dérivée d'un produit est égale à la somme des résultats que l'on obtient en multipliant la dèiHvée de chaque facteur par le produit des autres facteurs. t)iO. Dérivée d'un quotient. — De
on conclut vy =: ti;
puis, en
appliquant
la remarque ci-dessus,
et enfin
vu' — t*v' ♦1 — ■
Donc , la dérivée d'une fraction est égale au dénominateur multiplié par la dérivée du numérateur, moins le numérateur multiplié par la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur (*).
ISO. Remarque. — Si la fraction a la forme y = ^, a étant une constante, a'= 0 (t«7), et
ai?'
tSi. Dérivée d'une puissance. — Soit y = m", lexposant étant d'abord supposé entier positif. Celte fonction est le produit de n facteurs égaux à u; donc, par la formule (7),
y'= ijw"'^u'.
Ainsi, pour trouver la dérivée d'une puissance de fonction, on multiplie la puissance par son exposant, on diminue d'une unité cet exposant, et l'on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction.
Celte règle subsiste, quelle que soit la forme de l'exposant n.
1® Si n = ^, p et 9 étant entiers positifs,
y' == t/^ puis ?!/''y = pti'^'w'D ;
(*) La notatioD algébrique est, on le voit , plus commode que le langage ordinaire.
(**) En effet , si, dans j/fs ti^ on remplaçait y et u par leurs valeurs, on obtiendrait detix [onctions identiques, dont les dérivées seraient identiques.
mais . y» p-;.
donc
2® Soit n = — p, p étant entier ou fractionnaire, mais positif. Alors î/ = ^; puis (it©)
ou
msi9. Dérivée d'une racine carrée. — Dans le cas partieulier de y = u* = Km, on a
Donc , la dérivée d'une racine carrée est égale à la dérivée de la fonction placée sous le radical, divisée par le double du radical.
Dérivées des fonetlons ali^ébrlqaea.
JL8S. Au moyen des règles précédentes, on trouve aisément la dérivée d'une fonction algébrique et explicite quelconque. Voici quelques exemples simples :
