n(2rtH-l

/imS„ = l-hl.2.

Du resle, la construction indiquée conduit à la même conclusion : les points A», A5, A,,...

^ 0 A, A4 A, A, Ag A, y

tendent vers un poinl-limile L», tandis que les points A,, A4, A,, ... tendent vers un autre point-limite L,. De plus, la dislance L^L, est proportionnelle à >.

III. Une série à tet^mes alternativemenl positifs et négatifs, dont le terme général a pour limite zéro, peut être divergente.

Pour justifier cette proposition, il suffit de considérer la série

la somme des 2n premiers termes est

St» = 2 - -4 1 1 h -1;

\1 2 3 nr

donc la série est divergente.

Cette conclusion n'est pas contradictoire avec le Théorème VIL En effet, Ténoncé de ce théorème suppose U| > Wj > ti3 > «4 ... ; et, dans la dernière série, les termes sont tantôt croissants, tantôt décroissants.

IV. En général, on ne peut pas grouper, arbitrairement, les termes d'une série (*). Soit

i 1 1 1 1 1 1 i i 23456789 iO

'*^ïï~'72'*'lli""T4'^T5""Ï6"*"Ï7" doù

(*) Voir, plus loin, le Théorème de Dirichlet,

Si Ton réduit, on trouve

conclusion absurde, attendu que la limite S est comprise entre \ et { (f •).

91. Théorème VUI. — Les mêmes choses étant posées que dans le Théorème VII, l'erreur t que l'on commet en prenant la somme S., au lieu de sa limite S, est inférieure au terme u.^i qui suit celui auquel on s'arrête.

1* Si n est pair, on a

S„<S<S^,; d'où

S — S„ < 8,^1 — S„ , cesl-à-dire

^ n étant impair, on a

puis

et enûn

99. Remarque. — L'erreur s, prise positivement ou négativement, suivant que n est pair ou impair, est égale au reste R„ de la série.

Exemples de •èrle«.

•S. Premier exemple. — Considérons d abord la série

dont le ternie général

Nous savons que cette série est convergente (ts, I). On désigne ordinairement par la lettre e la limite de la somme de ses termes; en sorte que

94. 1° Le nombre e es^ compris entre 2 et 3. La première partie de la proposition est évidente. Pour démontrer la seconde « observons que les fractions

sont (la première exceptée) respectivement moindres que les termes de la progression

La limite de la somme des termes de cette progression est Tunilé; donc e < 5.

2® Le nombre e est incommen^tirable. — S'il était égal à une fraction irréductible^, on aurait, en mettant en évi-

dence le terme dont le dénominateur se termine par le facteur q :

(*) Le premier terme échappe à eette loi.

puisy en multipliant les deux membres par 1.3.3 ...9 I i i

E et E' désignant des nombres entiers.

Cette dernière égalité est impossible, car elle donne

ce qui est absurde, à cause de E > E'.

96. Calcul de e. Limite de l'erreur commise. — La méthode au moyen de laquelle nous venons de prouver rincommensurabilité du nombre e donne aussi la limite de Terreur s que Ton commet quand on prend seulement les n premiers termes de la série. On a

donc, par le calcul précédent,

^1.2.3...7iL w-^1 {n-^iy J

i.2.3...(n — i)n*' ou encore

En faisant usage de cette formule, et en observant que les termes de la série se déduisent, les uns des autres^ par

des divisions successives très-simples, on peut calculer rapidement, avec une grande approximation, la valeur de e. Par exemple, si Ton se borne à neuf décimales, on aura

Si nous n'avions pas négligé les décimales qui devraient suivre la neuvième, nous aurions, d'après la formule précédente ,

Id*

96 ALGÈBAC.

et, & plus forte raison, s < 0,000 000 000 9. Ainsi les neaf décimales obtenues seraient exactes. Pour tenir compte des retenues, calculons une décimale de plus: en la prenant par défaut, nous devrons ajouter, au résultat précédent.

6+6 + 3+8+6-h5-«-7-i-5+0+0+1 ODiiésda IO«ordredéci

En prenant par excès la dixième décimale, nous avons, pour nouvelle somme,

Ainsi

D*un autre côté, le dernier terme calculé, ti^j, est certainement inférieur à 0,000 000 002 2 ; donc

Par suite, la valeur de e est comprise entre

2,718 281 827 7 et 2,718 281 829 0.

En effet ,

\. Les détails dans lesquels nous venons d'entrer à propos de rincommensurable e sont justifiés par Tinportance de ce nombre , que Ton rencontre dans une foule de

{*) En écrivant 1828 deux fois de suile à la droite de 37, on a la valeur de e avec neuf décimales.

recherches; nous verrons bientôt qu'il sert de base au système des logarithmes népériens,

ffSI. Deuxième exemple. — Soit la série

dans

laquelle

Il est évident que lim «„ = 0 et que hm nu„ = 0. Ainsi, la série est peut-être convergente.

Pour reconnaître si elle Test réellement, cherchons la limite du rapport -^^ :

donc

lim

D'après l'une des remarques du n** 17, on ne peut encore rien afiirmer sur la convergence ou la divergence de la série proposée. Mais, si l'on fait attention que

on a, pour somme des n premiers termes ,

fS ALGÈBRE.

et, conséquemmenty

limS„ = S==l.

La série proposée est donc convergente; et la somme de ses n premiers termes, égale à 1 — ^^^, a pour limite Tunité.

9S« Remarque. — Le procédé que nous venons d'employer est souvent applicable.

K Troisième exemple. — Considérons la série

dont les termes, abstraction faite des signes, sont égaux à ceux de la série harmonique. Afin de reconnaître plus aisé^ ment si elle est convergente ou divergente, écrivons- la ainsi :

Il est maintenant visible que le n**"* groupe de trois termes de (1), ou le n"** terme de (2), est

"" "~ 3n — 2 "^ 5n — i "" 5n ^ ^' ou, après la réduction au dénominateur commun,

Cette fraction est positive a partir de n=^ ; donc la série (1)

(*) Pour justifier ceUe transformation de série, il suffit d'obser?er que, le terme général de la série (1 ) ayant pour limite zéro, les séries (\)el (2) sont, en même temps, convergentes, divergentes ou indéterminées. Eu effet, à cause de p = 3n, ou 3n -h 1 , ou 3» ■+- 2, S„ ne peut différer, de S^ que d'une quantité dont la limite esl zéro.

a tous ses termes positifs. De plus, ils diminuent indéfiniment à mesure que n augmente. Mais comme

le produit nu^ a pour limite ^ (*). Ainsi la série (2) est divergente (ta); et la série (1) Test aussi. SO, Quatrième exemple. — Soit enfin la série

Opérant comme dans l'exemple précédent , nous aurons

"•""3» — 2"*" 3n— l ""Sn^CSn— 2)(3n— i)3n"

Cette fraction , qui est positive , diminue indéfiniment à mesure que n augmente. De plus, le produit nu^ a pour limite zéro (**). Ainsi , il est très-probable que la série proposée est convergente. Une transformation fort simple va changer cette probabilité en certitude. Écrivons

" \3»— 2 3n/ \3m — i Znl

{*) En géDéral, soit une fi action

AaiP -\-liar-^ h h Ta? -i-U

A'xF -♦- B'a;p'-« H 1- T'a? H- U'

dont les termes sont des polynômes entiers, et dans laquelle on fait croître indéfiniment la variable x. i** 5i p = p\ la fraction tend vers ^,; S» Si p surpasse p', la fraction croît au delà de toute limite; Z'^Si p' surpasse p, la fraction tend vers zéro. Il suffit, pour déraoutrer cette proposition, de diviser les deux termes par xp.

(**) Voir la note précédente.

30 AI.GÈBRE.

et posons

3» — 2 on 3n — i 5»

d'où résulte

puis, en désignant par S„, S^, SI y les sommes correspondantes :

Les séries ayant u^, u^ pour termes généraux sont convergentes (to); donc la série (5) est convergente. De plus ,

lini S^ = lim S|, -h Hm S'^ (*).