DES FONCTIONS

ms. Théorème. — Une fonction est croissante ou décroissante, suivant que sa dérivée est positive ou négative.

Soit y=f(x) une fonction continue. Cette fonction esl dite croissante ou décroissante y selon que Taccroissement de y y correspondant à un accroissement 7>osi7f/' de x, suffisamment petit y est positif ou négatif En d'autres ternies, si, pour toutes les valeurs de Taccroissement h, inférieures à une limite donnée /, on a

la fonction proposée est croissante depuis oc = a jusqu'à X = a + / : elle serait décroissante si Ton avait constamment

Cela posé, le théorème résulte immédiatement de la relation

trouvée au n® 193. En effet, si on récrit ainsi :

et si Ton se rappelle que e s'annule avec A, on voit que, pour des valeurs suffisamment petites de h, le premier membre a le signe de f (a). Autrement dit, la fonction f (x) est croissante ou décroissante pour x = a, selon que {' (a) est positive ou négative.

tus. Remarque. — Si /* (a) = 0, f(a -h A) — f(a) est de même signe que e. On va voir que ce cas particulier est fort important.

1414. Maximums et minimums. — Lorsqu'une fonction continue cesse de croître avec la variable pour décroître ensuite, on dit qu'elle atteint un maximum; de même, elle atteint un minimum quand elle cesse de décroître pour croître ensuite. Ainsi , f(a) est un maximum ou un minimum de f(x\ suivant que Ton a, pour des valeurs positives de h, suffisamment petites,

f{a)>f(a±h), ou

/•(aXAadzA).

Ordinairement y les valeurs de x qui rendent f(x) maximum ou minimum, annulent f (x); et, en outre, f(a)esi maximum ou minimum, suivant que f^ (a) et négative ou positive (*).

lus. Le théorème qui précède facilite beaucoup la discussion des fonctions; c'est ce dont on pourra juger par les exemples suivants :

L Discuter y = x\ la variable x étant positive. ^^ Quand x est très-petit et de la forme ^>

on a ^ 1- A

y =— ; lira y = 0.

Ainsi, pour

x = Of y = 0.

2° La valeur de la dérivée est y'^=x' (1 — Ix) (IW). Cette dérivée reste positive tant que Ton a Ix < 1 , ou x < c; donc la fonction y est croissante depuis x = 0 jusqua

(*) Ces propositions seront démontrées dans ie Calcul diff'érentieL

APPLICATION DES DÉHIVÊES. 143

x=e. Pour cette dernière valeur de a:, y atteint un maximum que Ton calcule aisément parla formule

log e M

îogy = = —

3** A partir de x=e, la dérivée y' reste négative ; donc

la fonction y est décroissante depuis x=e jusqu'à x=h-oo .

D'ailleurs, à cause de ly=^, lim ly=0(88); d où lira y=\ .

Ainsi y pour

a; = -H oc , y = i (*).

II. Discuter y = (x H- ^)', /a variable x éfan/ positive, i** On voit d'abord, en remplaçant x par ^, que pour

Pour a;==0, y' = -h 00 ; donc la fonction y est d abord croissante.

3^ Afin de reconnaître plus aisément si la dérivée y' reste positive quel que soit x, posons

d'où

^"" x[x^ -\-\f La dérivée z', négative pour x = 0, s'annule pour

(*) Si l'on se borne aux valeurs entières de j;, on a

J<»^<V^3, puis ^ï>}/\>^>

Par conséquent, le maximum de »^n est K 3.

Cette valeur donne, après quelques réductions,

z =- [i —VE H- 1 (21/ÏÏ -f- 2)].

Ce résultat est positif; donc la dérivée y' ne change pas de signe, et la fonction y croit indéfiniment avec x.

m. Discuter y == xl (l -h ^), la variable x étant positive.

1« y'=ifi-4--i] i— , y"= r-^— r:i-

•^ \ xl x — i ^ xix-^i)*

La seconde dérivée étant toujours négative, y' est une fonction constamment décroissante. Cette fonction, infinie pour x = 0, s'annule pour x = -h oo . Par suite, la fonction proposée est croissante depuis x = 0 jusqu'à x == •+- oo . 2® Si Ton fait x = 0, on trouve y=0 X oo , forme indéterminée. Mais, en écrivant ainsi la valeur générale de y :

et en se rappelant (88) que

lira— ^— = 0, n

on obtient y = 0.

3® La même indétermination apparente se reproduit quand on suppose x infini. Mais

donc (1S7)

lini y = llim (l -4--J =\e = i.