CHAPITRE IX

Préllmliialrefl*

166. Etant donnée une fonction /*(»;), on peut se proposer de trouver une fonction <p (x) dont f (x) soit la dérivée, ou qui soit telle que Ton ait

Cette fonction inconnue, 9(x), est dite la fonction primitive de f(x) ; en sorte que le problème dont il s'agit peut encore

(*) Relativement à celte locution, voir Topuscule intitulé : Réhabilitation d*un pléonasme.

s'énoncer ainsi : remonter de la dérivée à la fonction primitive (*).

167. Théorème. — Deux fonctions qui ont des dérivées égales ne peuvent différer que par une constante.

Soient (p(x) et ip(x) deux fonctions ayant même dérivée: la différence ç (a) — 1{/ (x) a une dérivée nulle. Par conséquenty pour démontrer le théorème, il suffit de faire voir que toute fonction dont la dérivée est nulle se réduit à une ctmstante.

Soit /*(x) cette fonction inconnue. Si elle ne se réduit pas à une constante, elle sera croissante ou décroissante dans un certain intervalle. Admettons , pour fixer les idées , qu'elle soit croissante depuis x = a jusqu'à x = b.

Si, de f(x)y nous retranchons la quantité

qui devient f(a) pour x = a, et /"(6) pour x = b (**), nous formons une fonction

0 — tt

cionl la dérivée, à cause de /''(x)=0, se réduit à la quantité négative

F (x) serait donc décroissante, au moins depuis x = a jusqu'à x==b. Or celte conclusion est inadmissible, car

(*) Daos le Calcul intégral, on verra que ce problème, guand il est possible, esl presque toujours très-difficile à résoudre.

C*) Pour former ceUe fonction , il suffit de prendre un binôme mœ-¥-n fioiit les coefficienis saUsfassenl aux conditions

ffia-i- n = /'(a), m6 -*- n = /"(ô).

F (a) = F (6) = 0; ainsi , contrairement à Thypothèse , la fonction f(x) n'est pas croissante. On verrait, de la méiue manière, qu'elle ne saurait être décroissante. Donc f(x) se réduit à une constante.

16S. Remarques. — I. Le lemme que nous venons de démontrer peut être présenté sous cette forme géométrique : si le coefficient angulaire de la tangente à une ligne est constamment nul, cette ligne est une parallèle à l'axe des abscisses.

IL Semblablement, le théorème exprime que : si les tangentes MT, M'T', aux points correspondants M, M', sont constamment parallèles, la différence MM' des ordonnées MP, M'P est une constante C; et les courbes AB, A'B' sont égales : on obtient la seconde en faisant mouvoir la première parallèlement à Taxe des ordonnées.

160. Il résulte, du théorème précédent, que si Ton a trouvé, par un procédé quelconque, une fonction y(x) dont la dérivée soit f(x), toutes les fonctions jouissant de la même propriété sont données par la formule

F(x)=f(x)-hC,

G étant ime constante arbitraire.

La Géométrie conduit à la même conclusion : si 2^===^ (x) est réquation de AB, toutes les courbes, telles que A'B', parallèles à AB (*), sont représentées par Y = ç (x) -h C.

(*) Ordinairement, cette dénomination a un sens différent de celui que nous lui attribuons ici.

Heehcrehc des roBctlons prlmltlTca.

^ 70. En renversant les règles de la dérivation, on peut, dans quelques cas très-simples, remonter d'une dérivée à la fonction primitive. Par exemple, comme les dérivées de

x", Ix, e*, sinx, cosx, arcsinx, arctangx,

soni, respectivement :

4 i . 1 i wx"* , -> e*, cosx, — sinx, — > ;>

il s^ensuit que si Ton donne

y'^x"*, y'='y y'='e% y' = cosx,

1 i y' = sinx, t/' = — > v' = ;'

on aura, pour les fonctions primitives les plus générales :

y = sin X -♦- c, y = — cos x -♦- c ,

y = arc sin x -f- c, y = arc lang x -♦- c.

171. Remarques. — I. La première formule est en défaut ilans le casdem= — 1, c'est-à-dire, lorsque y'=i. C'est ce qui devait arriver; car cette fraction est la dérivée de Ix.

IL Le logarithme d'une constante est une constante. — On peut donc, au lieu de la deuxième formule, prendre

y = lx -*- le, ou encore

y == I (ex).

179. Diaprés la régie relative à la dérivée d*uiie somme, la fonetion primitive de

y' = A^ -4- Aix"*"* •+• A,x"*~' -f- ••• -H A„|X -♦- A^ est

17S. Les formules précédentes sont immédiatement déduites des règles du calcul des dérivées. En voici quelques autres, souvent employées, et dont la vérification est facile :