CHAPITRE X

JVéveloppeinenl de 1(1+0;).

114. La fonction 1 (1 -h x) a pour dérivée ^~^, Effectuant la division^ on trouve

1 a" = i — X -^x* — jc* -4- ••• d= x*"* =T= •

Donc, en remontant des dérivées aux fonctions primitives,

1(1 -i-x) = x h -H db — =F9(x). (1)

Dans celle égalité, cp (x) m^ tiwe fonction inconnue^ qui s'annule avec x, et qui a pour dérivée -^^ (*).

Il est aisé de voir que, si la variable x est comprise entre 0 et H- 1 , inclusivement, la valeur de tp (x) converge vers zéro quand n augmente. En effet, pour toutes les valeurs positives de x, on a

(*) La fonction f (x) est la différence entre 1 (1 + x) et le poIyn6me

X — -r-H — =fc — ; 2 n

donc e//e exw/^. En second lieu, f (0) = 1 (I) = 0. Enfin ,

zf,f{x)=r (1 — x-f-x* zt:x"-*) = q=- ;

donc la fonction p (x) a pour dérivée -j^*

cesl-à-dirc

D'après rinégalité (2), la fonclion (p (x) est croissante (169); et, comme elle s'annule avec x, on a

D'un autre côté, le premier membre de Tinégalité (3) est

la dérivée de

donc cette dernière fonction est décroissante. De plus, elle s'annule avec x; conséquemment, pour toutes les valeurs positives de x ,

rW<— ^- (»)

La fraction — — croîtrait indétiniment avec n, si x surpassait l'unité (SI); mais si, comme nous l'avons supposé, X est compris entre 0 et -f- 1 , ^^^ a pour limite zéro. A cause des inégalités (4), (5), la fonction f (x) tend aussi vers zéro. Par suite, le développement de l(i H- x), en série convergente, est

l(i-f-x) = x 1 1 «db —

176. Remarque. — La fonction y (x) représente le reste de la série, ou l'erreur que l'on commet en s'arrétant au terme ^ (3). D'après l'inégalité (K), cetre erreur est inférieure au premier des termes négligés : c'est ce qui a lieu pour toutes les séries convergentes, à termes alternativement positifs et négatifs (St).

DéTeloppesieBt de I (1 — w).