La méthode précédente donne d*abord
ip (x) étant une fonction qui a pour dérivée jz^^y et qui s'annule avec x.
En second lieu, si x varie de 0 à 1 — a, a étant une fraction aussi petite qu'on le veut, on aura
Par suite, / x ^ /^ / x ^ ^
a(rn- i)
La variable x étant inférieure à Tunité, la fraction
aciH-l
«(tH-l)
diminue indéfiniment lorsque n augmente. Donc ;{;(x) jouit de la même propriété. Par conséquent, pour toutes les valeurs de X comprises entre 0 et 1 — a, incltisivement,
171. Les formules (6), (7) peuvent servir à calculer les logarithmes népériens des nombres compris entre 0 et 2. Par exemple, si Ton suppose x = l dans (6), on obtient
(*) La formule (7) , obtenue eu supposant x < I , subsiste pour x =» 1 ; car cette dernière hypothèse rend infinis les deux membres. {**) On a TU (ta) que
n-i-ln + 2 2n 23 an
154 ALGEBRE.
seulement, les séries (6), (7), même quand elles sont applicables, sont peu convergentes; et, d'un autre côté, il est essentiel de trouver des formules qui permettent de calculer les logarithmes des nombres entiers. G est à quoi l*on parvient par les méthodes suivantes.
Calcul des l«0arltlime« Bêpérlens.
178. Si Ion ajoute, membre è membre, les égalités (6), (7), on trouve , à cause de
Posons
nous aurons
âx p
2 2n-*-fî
puis, au lieu de la formule (8),
\ n I \jtn-^p 3\2»H-p/ 5\2in-p/ J
ou
l(n-^») = lw-f-2 —^ — +^f— ^ — ] -*-••• • (9) ^ ^' L2n -♦- p 3 \2n -+- p/ J
Cette nouvelle formule sert à calculer le logarithme né-
donc, comme nous Tavons annoncé,
lim 1 H H-^ =1.2.
\rn-l n-4-2 2n/
périen d'un nombre entier n -+ ;), quand on connaît déjà le logarithme de n. Si l'on suppose p = 1» elle se réduit à
im. A cause de 1 . 1 =0, la relation (10) donne, de proche en proche, 1.2, 1.3, 1.4, ...
En particulier,
ri \ \ i n
Lo 5.5' 5.5» 7.5' J'
ou
1§0. Il est facile de trouver une limite supérieure de Terreur E que Ton commet quand on réduit la série (10) à ses t premiers termes. En effet, on a d'abord
et, par conséquent,
ou, en sommant la progression,
~~(2n-Hl)' ou enfin ,
2n(n-*-1)(2t-Hl)(2n-+-1)
Par exemple, si Ton se borne aux quatre premiers termes, dans la formule (11), on commet une erreur moindre que
j^^. Pour avoir la même approximation, au moyen du premier développement (179)^ on devrait employer 78 731 termes.
181. Des formules (8), (9), (10), on en peut tirer beaucoup d'autres, plus ou moins remarquables. Ainsi, quand on change n en n^ — 1, dans la relation (10), on trouve, en supposant
ou, ce qui est équivalent.
l(«^i) = 2ln-.l(n-l)- —
an'— 1
De ces deux nouvelles formules (*), la seconde sert à calculer le logarithme d*un nombre entier, quand on connaît déjà les logarithmes des deux nombres immédiatement précédents. La relation (12) peut servir à déterminer le logarithme d'un nombre premier n, connaissant les logarithmes des facteurs premiers den^ — 1 : ces facteurs sont, évidemment, moindres que n. De plus, la série S est, pour une même valeur de n, plus convergente que la série (10).
tM. Problème. — Calculer directement le logarithme d'un nombre donné.
Si, dans la formule (8), on pose
on a
In
Ln-*-l 3\n-*-iy 5\n-4-l/ J
(*) Elles sont aitribaées à Thomas Lavernède (Nouvelles Annales de Mathématiques, tome X, p. 73).
Par exemple y
Ces séries sont de moins en moins convergentes.
Calcul do Miodale.
18S. Le module M des logarithmes vulgaires a pour valeur Y^ (••)• Pour le calculer, il est donc essentiel de connaître le logarithme népérien de 10. Or, 1.10=1.2-4-1.5; et , d'après la formule (10) :
ri 1 1 1
donc
ou
ri 1 1 1
ri 1 1 H
