LS 3.3» 5.3» J

H Il H 1 = H r-l- ••• 1-

En effectuant les calculs, on trouve

et, par suite,

Calenl dem losarllliiiies YMls«l>*e>«

184. En multipliant par M les deux membres de Tégalitc (10), on obtient

loff (nn- l) = loK» ■+-2M 1 : 7:7-+- ••• r 0^)

Cette formule est Tune des plus commodes dont on puisse faire usage pour construire une Table de logarithmes de Briggs, analogue à la Table de Gallet. La formation d*une pareille table est bien plus rapide que celle d'une table de logarithmes népériens. En effet, si Ion a calculé les logarithmes vulgaires des nombres compris entre 10'"* et lO', on aura, tout de suite (M), les logarithmes des nombres entiers, inférieurs à 10^*. En outre, la convergence de la série (14) augmente si rapidement avec n, qu on peut souvent réduire cette série à son premier ternie. En effet, si n surpasse 10 000, on trouve (180), à cause de 2M < 1, et en supposant t = 1 :

ou, à plus forte raison,

(*) M. Shanks, calculateur anglais, a déterminé, avec 205 décimales, les nombres M et e.

tSft. Remarque. — Si, au lieu d'employer la méthode précédente, on applique, plusieurs fois de suite, la formule (12), on parvient à décomposer le logarithme d'un nombre premier n, en la somme de plmieurs séries, ordinairement très-convergentes. On a ainsi une seconde solution du problème ci-dessus (189). Par exemple,

H Min 1 r 4- ••• !•

186. Proportion logarithmique. — En général, on admet (\\ïe, passé une certaine limite, les différences entre les nombres sont, à peu près, proportionnelles aux différences entre les logarithmes de ces nombres (lÔO). Cette proposition résulte immédiatement de ce qui précède. En effet, si Ton ne prend qu'un terme dans la série (1 4), on a

log ( Il -♦- 1 ) — log n = 2M 7 .

De même, k étant une fraction proprement dite,

log (n -\' k) — log n = 2M r •

Par suite,

log [n -^ k) — log n 2n -♦- 1 log (n -♦- 1) — Jog n 2n -4- ft

Mais, le nombre n étant très-grand, la fraction ^^^pf est presque égale à Tunilé; donc, à fort peu près,

log (n -♦- A) — log n k

log(n -♦- 1) — logn 1

18T. Limites de l'erreur. — Soient log (n -♦-*)— log n == (T, log (n -f- i) — log w = a,

€ est Terreur que Ion commet sur log (ii -+- i), quand on fait usage de la proportion (15). Or (174) :

<r= log(l-*-*]=Mr--.ilH-il-...l \ «/ U 2n» 3n» J

j. = itlogfl+l)==Mr--AH.-i-...l; *V n/ Ln 2n« 3n» J'

donc

L 2n» Su» J

Les termes de la série, qui décroissent indéfiniment, sont alternativement positifs et négatifs, donc (tl)

Mk(\—k)

!• La première inégalité équivaut à (î > *|, ou à

log(n-f- *)> logn-H<r,;

ainsi , /a rfttettr exacte du logarithme de n -h k, est supérieure à celle qui résulte de la proportion logarithmique.

2» La somme des facteurs k,i — k étant égale à 1, le maximum du produit est { (*); donc

et, si n surpasse 10 000, ce que Ton peut toujours admettre,

1 GOO 000 000

n (B. Alg., 145).

Conséquemment, quand on suppose

log (n-^ k) = log n -H (^1 = log n -f- éa ,

Verreur e est moindre qu^une unité du neuvième ordre décimaL

ISS. Si l*on veut trouver le nombre correspondant à un logarithme donné (101), et que Ton fasse usage de la proportion logarithmique, on commet une autre erreur Si, dont il est également facile d*avoir des limites. Remarquons d abord que, le nombre inconnu étant n + A;, on le suppose égal ànH-^; donc

1^ Diaprés la première des inégalités (1 6), on a e| < 0 : la valeur exacte du nombre correspondant à log (n + k\ est inférieure à celle qui résulte de la proportion.

2* Le développement de A = log (1 -»- i) donne

donc, à cause de l'inégalité (17) :

en valeur absolue; et, si n surpasse 10 000

également en valeur absolue. Ainsi, quand on prend k =» ^' l'erreur e^ est moindre que deux unités du cinquième ordre décimai

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