La fonction arc tg x a pour dérivée |-:^. Or

donc, en désignant par cp (x) une fonction qui s'annule avec* X, et qui a pour dérivée j^^ >

x* X* x*^' arc tff xs=x 1 •• db qc «(x).

On trouve ensuite , en raisonnant comme on l'a fait dans les n""- 174 et 176 :

Si donc X est compris entre -f- 1 et — 1, inclusivemeni,

lim ç (x) = 0, ou

arc tg X = X H — —-♦-... (18)

Calcal do rmppmrt ëe la elrc«aféreiice mi dlaaiètre.

190. La série (18), et celles que Ion en déduit, senent à calculer, avec une approximation indéfinie, le nombre incommensurable i: (*).

1 "* Si Ton suppose d'abord x = 1 , ou a

Cette série, trés-peu convergente, est attribuée à Leibniz.

(*) Lambert a démontré, le premier, celte incommensarabîlité {Géométrie de Legendre, Note IV).

SÉRIES LOGARITHMIQl^ES 013 CIRCLLAIRES. 165

^ Soil

- = arc tg X -H arc tg y = arc tg ;

4 1 — xy

d'où , à cause de tg ^ = i ,

1— xy = x-+-y;

équation indéterminée. Pour y satisfaire , on peut prendre

Par suite ,

Cette nouvelle formule, due a Euler, donne le nombre tt par la somme de deux séries ; elle est déjà beaucoup plus commode que la formule (19).

3"* Désignons par a Tare dont la tangente est |. Nous aurons

tc2a= s= — > Iff4a= =s = 1h

Cette dernière fraction étant fort petite , Tare ia surpasse^ d'un très-petit arc P, déterminé par

«gP =

tg4a — i 119 ^ I

i -♦- tg4a~ 720^239

Mais ^ M ^ . ^ . *

- = 4a — ^s=arclg arctg

donc y par la série (18),

"" I239 "" s.âsy ■*" 5i239' "*" ■ r ]

ou

De cette dernière formule, trouvée par le Géomètre anglais Machin, on a conclu la valeur de n avec 100, 200 et enfin 707 chiffres décimaux (*).