Lehmb II. — L'équation

«e décompose enas=a', P = P'.

La démonstration est la même que celle du premier lemme (**).

(*) ËD effet, diaprés la convention précédente, jSi^Hl aasl^^0«; el — /3* s*annule en même temps que (3.

(**) Il serait peut-être plus exact de considérer ces deux lemmes comme de simples demandes. En effet, Veœplication relative au premier lemme ne peut passer pour une véritable démonstrtUion, Dans un ordre d'idées que nous n'avons pas cru devoir adopter, on regarde le Lemme II (qui comprend le Lemme I) comme une définition du symbole l^ — i, Enân, depuis un ceruin nombre d'années, les imaginaires sont considérées , par quelques Géomètres, comme des quantités complexes, représentant des distances comptées, à partir de Vorigine, sur des droites inclinées à faxe

197. Théorème I. — Pour qu'une expression imaginaire soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul. i® Si rimaginaire a -+- (3 1/— T est nulle, on a

a = 0, p = 0(tfl5); donc m' = a'H- p' = 0, «t = 0.

2* Si le module est nul, a' -h (3*=0; donc a==0, P=0.

Aëdlll«B e( «•asIraetlOB des Irnavlnalre*.

f M. En opérant sur les imaginaires comme sur des quantités, c'est-à-dire en regardant l^ — 1 comme un coefficient , on obtient

(a -4.pl/— i ) H- («'-4- pV—l)= (a-+-a') -*- (|34-p')l/—1 , (i) (a-npl/^)— (a'-^p'l/=iï)=(a— a') -f- (p— p')l/=T; (2) (*.)

et, en particulier :

(a H- pl/^^) -*- (a — 6 ï/^) = 2«, (3)

(a -^ pV/— i) — (a — p]/— i)= 2pl/— 1. (4)

1M. Remarques. — I. Si la soustraction conduit à un reste nul, on a, d'après Tégalité (2) et le Lemme I : a = a', P=P'. On vérifie donc que toute équation, de la forme A4-B»/^=A'-l-B'l/^, se partage en A=A', B=B'.

II. D'après les égalités (3), (4) : 1" La somme de deux imaginaires conjuguées est toujours réelle; 2* La différence de deux imaginaires conjuguées a la forme Bk — 1 .

des nhscisses. Le lectear peut consalter, sur ce sujet, le savant ouvrage de M. Hoûel, iotitolé : Théorie élémentaire des quantités complexes; pais, dans tes Nouvelles Annales de Mathématiques, de remarquables articles d'Abel Traoson, ingénieux Géomètre, récemment enlevé à la science. (*) Les égalités (1), (2) pourraient être regardées comme des définitions.

900. CoiUinuant à étendre aux imaginaires les règles ordinaires du calcul, et faisant attention que(l/^^) = — 1; on trouve

(a Hôl/Z:ï)(a'-t.p'l/— 0=aa'— p;5'-*-(a|3'+a'l5)V/— 1. (5)

%01. Si le second facteur est conjugué du premier, le produit devient «^ — {^V^ — 1 ) = a* -»- p« ; ainsi le produit de deux imaginaires cùnjuguées est égal au carré du module commun,

%0%. Théorème II. — Le module d'un produit est égal au produit des modules des facteurs.

Considérons d'abord un produit de deux facteurs. En conservant les notations précédentes » et en appelant M le module du produit, nous avons , par Tégalité (5) :

M = -4- [/{ace' — p|3')* -4- (ap' -^ apy.

Il faut prouver que mm' = M. Or, en effectuant et réduisant , on trouve

donc, etc.

Au moyen du raisonnement connu, on étend la proposition au cas d'un nombre quelconque de facteurs.

908. Remarques. — I. L'égalité (6) démontre ce théorème d'arithmétique :

Le produit de deux nombres, égaux, chacun, à la somme de deux carrés, est égal à la somme de deux carrés.

Par exemple,

CALCUL DES LMAGINÂIRES. 171