OU
II. Plus généralement, d'après le Théorème II : le prodmt de plusieurs nombres, igaïAX, chacun, à la somme de deux carrés, est égal à la somme de deux carrés.
Exemple :
III. Le second membre de l'égalité (6) peut être écrit ainsi :
Conséquemment, tV y a toujours au moins deux manières de décomposer, en une somme de deux carrés, le produit de deux nombres, égaux, chacun, à la somme de deux carrés (*).
M4. Théorêmc III. — Pour qu'un produit de facteurs imaginaires soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul.
Considérons, pour fixer les idées, le produit P==ff'f".
Soient m, m\ m" les modules des facteurs, M étant le module de P.
!• Si ce produit est nul, M = 0 {t%7)\ ou, par le théorème précédent, »iw'm"=0. Cette égalité, dans laquelle wi, m\ m", sont des facteurs réels, exige qu'un d'eux au moins soit nul. Soit m ce facteur nul; alors f^=<x.+ (31/ — 1=0
2** Si un facteur de P, /"par exemple, est nul , le module correspondant, 71», est nul. Donc M = mm'in"=0; puis (197) p = 0.
(*) De 1^ résulte qu'un produit de trois facteurs de la forme indiquée, est décomposable, au moins de quatre manières, en deux carrés; qu'un ffroduit de quatre facteurs de cette même forme, est décomposable en deux qarrés, dau moins huit manières; etc. Cette simple énumération peut déjà dire préToir Inutilité des imaginaires.
MvIfll^B des iHÉAClB'^ll^'i*
«W. Soil à diviser a ^. ^V— 1 par a' -h (3'V/^: il s'agit de trouver une imaginaire x -f- yV — 1 qui, multipliée par le diviseur, reproduise le dividende.
L'équation
« + p i/zrr= («'-+- pV=T) (x ^ y \/irT)
se décompose (196) en
Ces deux équations donnent Donc
«'H-p'v/zrr «'«-t-p'»"*" a'«^p'«^^*- (^)
tO«. Remarques. — I. On arrive plus rapidement à ce résultat en multipliant les deux termes de la fraction
a'-t-pV— i
par l'imaginaire a' — P' l^^^, conjuguée du dénominateur.
II. Le quotient (7) est fini, excepté quand le diviseur est nul.
in. Ce quotient est réel si
CAIXUL DES IMAGINAIRES. 173
M7. Par définition (IM) , les puissances successives deV — 1 sontl/^in^, — 1, — l/— 1, -f- 1 ; donc, m étant entier positif (47) :
De même,
^a — jîV/— 0 =a'"— -.«— *pV/^ S— ^a* «^'
fwfm — 1)(m — 2) , , y
M9. Remarques. — I. Si l*on pose, pour abréger :
on a
(«4-^V/=:î)'"=A-f-BV/=ï, (a-p\/=ïïr=A-Bl/=ï. (8)
II. Ces deux égalités , multipliées membre à membre, donnent celle^i :
(a« H- pY = A' -♦- B».
Ainsi, les puissances successives d'un nombre égal à la somme de deux carrés sont égales^ chacune, à la somme de deux carrés (*).
D Ce théorèue est un cas particulier de celai que nous avons démontré d-dessiis (!••).
Racine earréc d^nne InaslBalre.
%09. Pour ramener l'expression l/adbpV/l à la forme a' ± (3'1/ — 1, il suffit d'çmployer la relation connue
et de supposer A = a, B = — p^ On obtient ainsi
^r—J= /oL-A/a^-^' /a+i/^«
«10. Remarque. — La somme des racines cai^ées de deux imaginaires conjuguées est toujours réelle.
Dé^eloppemeiito de f{a db & l^— l).
«11. Si /*(a) est un polynôme entier, à coefficients réels, l'application du Théorème de Taylor (159) donne, immédiatement,
^^"^-ïl3/^"'W-^"-]^^^5
ou , si l'on représenle par A, B des quantités réelles, ne contenant aucune puissance impaire de P :
CALCUL DES IMAGLNAIRES. 175
Le changement de (3 en — P n'altère ni A ni B ; donc
f{aL — pl/^)« A — Bpl/ITT.
%t%. Remarquer. — \,Lesdév€l(yppemenisdeî{^oL±:i^/^) nont des imaginaires conjuguées,
IL f{a -h (3V/— l) -h f{a—^V—\)est une quantité réelle (1 90, II), qui ne renferme aucune puissance impaire de^.
Équation* blearrée*.
SIS. Les racines de Téquation
x*-f-px*-4-qf = 0, (\0)
sont données par la formule
x=±Y/-ip±\/ip'-ï.
Si le binôme { p' — g est négatif, les deux valeurs de x* devenant imaginaires, il y a lieu d'appliquer la transformation donnée ci-dessus (909). Faisant
on trouve, au lien des valeurs (11) :
x = ±U\/-p + iVq ±\/p ■*■ ^Vq.V^^]. (12)
Par exemple, l'équation
X* + 2x* -♦- 5 = 0 a pour racines
-tl{[/2^ 21/3 dr 1/2 -+-2\/3\/=l).
De même, les racines de Téquation
c'est-à-dire te* qiMtre valeurs deV — 1, sont données par la formule
x= ±1(1/2 =fc 1/2. \/^=^), que Ton peut réduire à
x = dt\/T(i±v/=:T).
%td. Remarque. — La formule (12) étant assez compliquée, il est utile, pour soulager la mémoire, de pouvoir la retrouver rapidement, dans chaque cas particulier. C'est à quoi Ton parvient comme il suit :
Après avoir transposé le terme px^, ajoutons, aux deux membres de Téquation (10), la quantité 2x^ \/q : le premier membre devient (x* -h l/g) ; en sorte que
(x' -♦- 1/?)*= x*(- p H- 2V/9); ou, en extrayant les racines.
x'-H l/9 = ±x|/— p-4-2l/qf.
L'équation proposée est donc remplacée par les deux équations du second degré :
La formule ordinaire, appliquée aux équations (13), reproduit les valeurs (12).
