IMAGINAIRES TRI60N0MÉTR1QUES

Préllmliialrefl. -

S16. Théorème I. — Toute imaginaire est réductible à la forme p (cos y 4- \/ — 1 sin ç), p étant le module, et y, un arc moindre que la circonférence.

L'équation

a-i- pi/— 1 =y(cosf H-l/ — I sin f) (I)

étant décomposée (i06) en

a = pcosf>, p = psin^, on conclut 9 de ces deux équations,

P -\/7Tf«, (2)

cos 7 =3 -9 sinf=— (5)

Si Ion convient de prendre positivement le radical, de manière que p soit le module de l'imaginaire donnée , les formules (3) détermineront, en grandeur et en signe, cos <p et sin (p. Or, entre 0 et Stt, il n'existe pas deux arcs ayant, à la fois, même cosinus et même smus. L'arc 9, auquel on donne le nom d'argument de l'imaginaire, est donc déterminé, si on le suppose compris entre ces deux limites.

*17. Théorème II. — L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments des facteurs.

Considérons d'abord le cas d'un produit de deux facleurs; et, pour plus de simplicité, faisons abstraction des modules, de manière que ce produit soit

P == (cos f H- V/ — i sin 9) (cos f •♦- 1/ — i sin ?').

ALGÈBHE.

En appliquant les règles indiquées précédemment, on trouve

p = (cos y cos 9 — sin ^ sin ç>')-^ (cos y sin ç)'-4-siu ç> cos o') V—\\

ou, par des formules connues (*),

P = cos (çj -4- ç)') -4- \/ — \ sin (ç> -4- f ').

Le théorème énoncé est donc démontré si le produit a deux facteurs seulement. Pour passer au cas de trois facteurs, il suffit de multiplier, par le troisième facteur, les deux membres de Tégalité précédente. En effet,

(cosf-hl/ — lsin^)(cosç;'-+-\/ — <sin5;')(cosç"-4-l/ — Isin/]

= [cos (î> 4- ^') -*- 1/ — 1 sin (ç) -4- y')] (cos ç>"-t- 1/— 1 sin v"'

= cos (ç> -4- ?'-»-?") -4- 1/ — 1 sin (ç) -4- ç>'-4- y");

etc.

91 §• Corollaire. — Uargument d'un quotient est égal à l'argument du dividendcy moins l'argument du diviseur.

Formule de Holvre.