Siy dans Tégalité

(cos f -t-V/— 4 sin f )(cos y'-hl/— 4 sin ©') (cos ç»"-+-W^^^ sin »")

= cos (f -4- /-4- •••) -I- 1/ — \ sin (jî -4- ^'-1- •••),

on suppose les arguments égaux entre eux, et en nombre m, on a la relation

(cos ç5 -h 1/ — i sin f)"*= cos my -4- 1/ — 1 sin Wo, (4)

connue sous le nom de Formule de Moivre (**). Elle subsiste, moyennant certaines restrictions, pour les valeurs fractionnaires ou négatives de l'exposant m.

(*) {B., TrigX

(••) Abraham Moivre, né à Vilrj-le-François, en 1667 ; mort à Londres, en 1 754.

IMÂGIlSÂmES TRIGONOMÉTRIQUES. 181

Développemenlfl de sin mf et de cos m?.

990. L'exposant m étant supposé entier positif, développons le premier membre de Téqualion (4); puis égalons les parties réelles et les coefficients de \^ — 1 . Il vient ainsi

cosmf=CQs^f cos^'^^sm*© h — (5)

sinmf =— cos*"*^smo :: cos* '*fsm''^-+----(r>)

On voit que cos m(f et sin wiç s'expriment, rationnellement, en fonction de cos <p et de sin cp. Pour toute valeur enlière de m, chacun des deux développements a un nombre limité de termes. Par exemple ,

cos Ts = cos'f — 21 cos* f sin* ©-+-35 cos' f sin* j» — 7cos y sin* o, sin 7^» == 7cos*f> sin f — 35 cos* f sin' ,?-+- 21 cos' f sin'^ — sin'^ (*).

iiérles Imaf inalre«.

991. Définition. — Une série dont le terme général a (a forme a^ •+• P„V^ — i est dite convergente, lorsque les deux séries

dy -+- «i -H ••• -4- a„ -+- ••• ,

Pi -^ 1^3 -<- ••• H- ?„ -^ —

^ont convergentes.

On voit que les conditions de convergence d'une série imaginaire donnée se ramènent, immédiatement, aux conditions de convergence de deux séries réelles. La proposition suivante réduit souvent l'examen de la série proposée à celui d'une seule série réelle.