Théorème II L — Une série imaginaire est conver

(*) On peut aussi exprimer cos'" p et sin'" p en fonction des sinus et des cosinus des multiples de <?. Cette seconde question, moins utile que la première, conduit à des formules un peu compliquées. Le lecteur pourra consulter, sur ce sujet, le Cours d'analyse de Sturm.

gente si la série formée par les modules de ses ternies est convergente.

Si Ton met le terme général, a^ -h P„ V — 1, sous la forme p„ (cos ©„ -h l^ — 1 sin m^) , les trois séries réelles dont il s'agit deviennent

p4 COS «I H- Pi cos «< -+-••• -*- p„ cos W„ H ,

Pi sin «I -♦- pf sin «j -h ••• -t- p„ sin cy„ -4- •••, pi ~*" Pi "♦" *•• "^ p« "*" "'*

Or, si cette dernière série, dont tous les termes sont positifs, est convergente, les deux autres le sont pareillement (8).

9SS. Remarques. — I. Si le module p, n'a pas pour limite zéro, la série proposée est divergente ou indéterminée.

En effet, à cause de

une au moins, des quantités <x„, |3„ , n'a pas pour limite zéro.

II. 5t le module p„ a pour limite zéro , et que la série des modules soit divergente, la série proposée peut être convergente.

Par exemple, la série dont le terme général est

1 r wtt , / . nn']

t/. =— I cos H K — i sm — p

nL 2 2J

est convergente, bien que la série des modules

12 5 4 soit divergente (*).

{*) A cause de

et de

la série proposée a pour somme