CHAPITRE XIII
Préliminaires.
%%4m Après la disparîlion des dénominateurs et des radicaux, toute équation algébrique, à une seule inconnue, peut être réduite à la forme
AqX*" -+- A|X"*~* -♦- A,x*~' -4- ••• -H A„iX -h A^ = 0 :
m est un nombre entier ; Aq, A-i , Aj , ..., A„ sont des coefficients donnés, que nous supposerons réels ou de la forme a-hPl/— T. Ordinairement, on divise tous les termes par le coefficient de ac"*, ce qui revient à prendre Aq = 1 . Pour abréger, nous représenterons, par /'(x)==0, Téquation ainsi simplifiée.
995. Lemme. — Le reste de la division d'un polynôme entier f (x), par un binôme x — a , es( f (a).
Si Ton continue la division jusqu'à ce que Ton arrive à un reste R indépendant de x, on aura identiquement , en désignant par cp (x) le quotient ,
Dans cette égalité, remplaçons x par a : le produit (x — a) ç (x) s'annule , car le facteur x — a devient zéro pourx==a, et la quantité 9(0) est finie. D'ailleurs, le reste R n'a pas changé. Donc
996. C0ROLL41RE 1. — Suivant que a est ou n est pas racine rfc f (x)=0, f (x) est on n'est pas divisible par x — a.
•«T. Corollaire II. — Si a, b, c, ... g sont t^adnes de f (x)=0, le polynôme f(x) est divisible par le produit des binômes x — a, x — b,...,x — g.
D'après le Corollaire I ,
/]| (x) étant un polynôme entier. Dans cette égalité, remplaçons X par 6; nous aurons
Pour qu'un produit soit nul, il faut qu'un des facteurs soitnul {^04). Si donc, comme on le suppose, les racines 6, a sont différentes Fune de l'autre, on a /i(6) = 0; d'où résulte (995)
/;(x) = (x-6)/;(x), puis
En continuant ainsi 9 on trouve
f{x) = {x — a) (x — 6) ... (x — 9) Q , Q étant un polynôme entier, ou l'unité.
(*) Cette démonstration, due à D^AIembert, a été l*objet de crîtiqnes qui ne nous semblent pas fondées.
M§« Théorème de D'Alembert. — Toute équation algébrique, f (z) = 0, dont les coefficients ont la forme
admet au moins une racine de cette forme.
Parmi les nombreuses démonstrations de ce théorème fondamental, la plus remarquable est celle qui a été donnée par M. Liouville (*), d'après Mourey (**). Nous allons la reproduire, à quelques modifications près.
Le théorème a été démontré pour Téquation du deuxième degré; par conséquent, il suffit de faire voir que, s'il est reconnu vrai pour toute équation de degré inférieur à m , tV subsiste pour toute équation de degré m.
Cela posé, soit
cette équation. Si nous égalons à zéro Tenscmble des termes qui contiennent z, après les avoir divisés par cette variable, nous formons une équation auxiliaire
y (z) = z*-« -♦- A,2— « -h AiZ-- » -+-.-. -4- A«i = 0 , (2) laquelle, par hypothèse, a au moins une racine, de la forme
Soit ai •+- bj^ V — \ cette racine : le polynôme 9 {z) est divisible par z — a^ — 6-1 V^ — 1 (**5) ; donc
9i(z) étant un polynôme entier. V équation (f^(z)=Q a au moins une racine; ainsi
çi {z) = {z — a^ — b^ l/— î) ^, {z).
{*) Journal de Mathématiques , t. IV, p. 501. (") Vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires.
En continuant de la sorte, on voit que le polynôme (f(z) est égal au produit des m — 1 binômes
z — tti— 6|V^ — i, z — as — 6jl/ — 1, ..., z — a.j — 6^il/— I; et que Téquation (1) peut être écrite ainsi :
z(z — ai — 6jl/ — {){z — «j — 6^1/ — i)...
II s'agit de savoir s'il existe une valeur de z qui rende identique cette nouvelle équation.
Posons
z = x -\' y\/ — i = M (cos w -+- 1/ — i sin m), puis
X — ai-4-(y — 6,)V^ — 1 =Wi(cosûJi -h 1/ — 1 sinu,), X — o,-+-(y — 6j)l/ — \ =Uj(cosM«-t-l/ — i sinw,)
X •— a^i -4- (y — - 6.«|) V — i = ««, (cos w^, -hV/ — 1 sin,i),
— A=R(cosa-*-l/ — 1 sin a):
réquation (3) devient («lî)
uwiWj...W|»i [cos(û)-+-«i-»-w^.,) -4- 1/ — i sin(«-4-«(-i-'-.-+-o)^,)]
= R (cos a H- \/ — i sin a);
et celle-ci, comme on le voit aisément, se partage en
iii/,...t/^, = R, (4)
w -t- «I -+-••• -4- «„^| = a ± SAflT. (5)
Regardons x, y comme les coordonnées rectangulaires d'un point mobile M, et les quantités
comme les coordonnées de m — \ points fixes A|, Aj,... A., :
PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. i89
les modules ti, ti^, ... w«4 représentent les distances MO, MA^ , MA2, ... MA^| ; et les arguments (tn^ (ù^ , ... w^., sont les angles formés, par ces droites, avec la partie positive de Taxe des abscisses.
Occupons-nous d'abord de lequation (4); et, après avoir donné à cô une valeur particulière quelconque, faisons mouvoir le point M sur la direction OC ainsi choisie : lorsque M se confond avec lorigine, w=0, et le produit WW| ... u^^ s'annule; au contraire, quand le mobile s'éloigne indéfiniment de l'origine, ce produit croit au delà de toute limite. D'ailleurs, les distances U| , Uj, ..., u,^, varient d'une manière continue (^)^ en même temps que u; donc: 1® sur la direction quelconque OC, il existe au moins un point M dont les coordonnées u , U| , ... u„| vérifient l'équation (4) ; 2® le lieu du point M est une courbe C qui entoure y de toutes parts y l'origine 0 (**).
Considérons maintenant l'équation (3), et faisons mouvoir le point M sur le contour fermé C. Pendant ce mouvement, l'argument w, et le premier membre de l'équation, augmentent ou diminuent de 27r, pendant que M fait un tour entier, dans un sens ou dans l'autre. Donc ce premier membre, qui varie d'une manière continue, devient, au moins une fois, égal à a =fc SAtt, k étant un nombre entier quelconque.
De cette discussion il résulte que , dans le plan de la figure, il y a au moins un point M dont les coordonnées polaires vérifient les équations (4), (3), ou dont les coordonnées rectangulaires satisfont à l'équation (3), transformée de l'équation (1). Donc cette équation (1) admet au moins une racine. C'est ce qu'il fallait démontrer.
(*) Ce postulalum nous parail iocootestable.
(**) Ici, la démoDstration n'est pas rigoureuse : M. Liouville Ta complétée. [Journal de Mathématiques , l. V, p. 31.)
%%9. Corollaire. — Le premier membre d'une équation algébrique, du degré m, datis laquelle le coefficient du premier terme est 1 y est égal au produit de m facteurs binômes^ de la forme x — a, x — 6 , ... , x — A:, (x — I).
La démonstration ne diffère pas de celle qui a été donnée ei-dessus (999).
9S0. Théorème II. — Toute équation algébrique^ f(x)=0, du degré m, admet précisément m racitkes.
En effet, le produit
s'annule si l'on donne à x une quelconque des valeurs a, 6, i*,... A, /, et ne s'annule pas si Ton attribue à x toute autre valeur.
%Zt. Remarque. — Si quelques-uns des facteurs x — a, X — 6, ..., X — / sont égaux entre eux, on dit que Téqualion f(x)=0 a des racines égales ou des racines multiples. Par exemple, l'équation
(x— 'l)»(x-Hi)«(x — 2)* = 0
a trois racines égales a 1, deux racines égales à — 1, et quatre racines égales à %
9S9. Théorème III. — Toute équation algébrique, à coefficients réels, qui admet une racine imaginaire a-hpi/ — 1, admet aussi la racine conjuguée a — (31/ — 1.
Si a -h pi/ — 1 est racine de l'équation /'(x)=0, on a, identiquement, /*(«-!- (3»/^)=0,ou(«fl)A+Bpi/^0; d'où résulte, attendu que ^ n'est pas nul: A^^O, B=0.
Mais (jo— (31/— "T)=A — Bp»/^^ = 0;donc, a — p 1/ — 1 est racine de l'équation proposée.
9SS. Remarque. — Si /"(x) avait des coefficients imaginaires, les fonctions designées par A, B cessant d'être réelles, l'équation /"(«-+- (3 1/ — 1 ) = 0 ne se décompo-
PRIiSCIPES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 491
serait pas en A=0, B=0; et le théorème poterraft n'avoir phts lieu (*).
M4I. Corollaire. — Les racines imaginaires d'une équation à coefficients réels sont en nombre pair.
%Z5* Théorème IV. — Le premier membre d'une équation algébrique, à coefficients réels, est égal au produit d'autant de facteurs réels du premier degré que l'équation a de racines réelles, et d'autant de facteurs réels du second degré qu'elle admet de couples de racines imaginaires.
Nous savons que a, byC, ..,,k, l étant les racines <<le réquation f(x) = 0,
Si a, 6 sont deux racines conjuguées » le produit correspondant prend la forme
(x — a — pi/— i)(x — a^pl/— l),
en sorte qu'il se réduit au trinôme réel x^ — 2ax-i-a'4-{3*; etc.
Coin pofll lion des cocfflclento.
9S6. Théorème V. — Dans toute équation de la forme X" H- AiX*"* -f- ••• -♦- A^ = 0 :
le coefficient du deuxième terme est égal à la somme des racines, prise en signe contraire; le coefficient du troi-
(*) On anrait tort d^affirmer qu'une équation à coefficients imaginaires n'a pas de racines conjuguées : Téquaiion
est vérifiée par x s» l d= V^^.
(**) Le coefficient du premier terme est toujours supposé égal à l'unité. Cette observation est faite une fois pour toutes.
sième terme est égal à la somme de leurs produits deux à deux y etc.; enfin, le dernier terme est égal au produit des racines, ou à ce produit pris en signe contraire, suivant que le degré m est pair ou impair.
Les racines étant a, b, c, ..., A:, /, le produit
ordonné suivant les puissances décroissantes de x, doitéu*e identique avec le premier membre de Téquation. Or, si 1 on désigne par S^ la somme des racines, par S^ la somme de leurs produits deux à deux, etc., on a (46)
P = x" — SiX— * H- Sjx"-' — Ssx—' H- ... zp S,, db S^;
et, par suite,
Al = — S|, Aj = Sj; A3 = — S3, ..., A^=itS^. (fi)
9S7. Remarque. — Les relations (6), étant symétriques par rapport aux racines, ne peuvent servir à déterminer une de ces racines en particulier. En effet, si Ton en pouvait conclure une équation donnant a, cette équation ne différerait, que par un changement de lettre, de celle qui donnerait 6, de celle qui donnerait c, ete. Autrement dit, toutes ces équations seraient, sauf le changement de x en a, 6, c, ..., réquation proposée. Un calcul très-simple conduit à la même conclusion. Prenons, pour fixer les idées,
— (a -4- 6 H- c -4- rf) = A,,
a6 -*- «c H- ad -+- 6c -h 6rf -4- cd = Aj,
— {abc -f- abd -h acd -+- bcd) = A5,
abcd = A4;
puis, afin d éliminer b, c, d, ajoutons membre à membre
ces égalités y après avoir multiplié , successivement, par (fi, a^ a : nous trouvons
— a* = Aitt' -f- A,a' -♦- A^a -♦- A4, ou
a* -♦- A|0' -*- Aja' -h Aja -♦- A4 = 0.
C«MilBiillé des ff«iieCl«BS eMllères.
M§. Problême I. — Étant donné un polynôme
AqX"* -4- A|X"~* -H — -t- A„,
frotft^er une valeur positive de x, d partir de laquelle le poly- HÔme conserve le signe de son premier terme, et croisse indéfiniment avec x (en valeur absolue).
Représentons par /*(x) ce polynôme; et, pour plus de simplicité, supposons que le coefficient Aq soit positif : s'il était négatif, on appliquerait à — f(x) la solution suivante.
Cela posé, il peut se présenter deux cas :
1^ Si f(x) a tous ses termes positifs, chacun d'eux, à lexception du dernier, croit indéfiniment avec x, à partir de x=0. Cette valeur satisfait donc à la question.
^ Si /*(x) a des coefficients négatifs, appelons — N le plus grand d'entre eux, et remplaçons tous les coefficients, le premier excepté, par — N. Nous aurons, pour toute valeur positive de x,
f(x) > AqX^ — N (x"~* -4- x"* *-+-•••-♦- X -♦- i).
Par conséquent, dans l'énoncé du problème, nous pouvons remplacer le premier polynôme par le second. Or, l'inégalité
Aox- — N (x--* -f- X—* -4- ... ■+ X -4- 1) > 0 (7)
équivaut à . ,., ^^ — ^ ^ ^
AoX'« — N -->0;
OU encore, à
ar[Ao(x-1)-N]-^N
On satisfait à celle-ci en prenant
Ao
De plus, en mettant le premier membre de rinégalité(7) sous la forme
on voit que , à partir de \=i -hj-j ce premier membre croit indéfiniment avec x. La quantité *-»-][- résout doncle problème proposé.
%t9. Remarques, — I. Pour rendre le résultat de la substitution supérieur à un nombre donné A , il suffit de remplacer f(x) par f(x) — A, ou A„ par A^ — A. Conséquemment :
Étant donné un polynôme f (x) , on peut toujours assigner une valeur positive de x assez grande pour que le résultat de la substitution surpasse, en valeur absolue, un nombre donné quelconque.
II. Un polynôme f (x), de degré pair, prend le signe du coefficient de son premier terme, quand on attribue à la variable x des valeurs suffisamment grandes, positives ou négatives. Mais si le polynôme est de degré impair, il prend le signe du coefficient de son premier terme, ou un signe contraire, suivant que l'on attribue à x une très-grande valeur positive ou une très-grande valeur négative.
5140. En indiquant la solution précédente, nous voulions principalement faire voir qu'il est possible de satisfaire, par une valeur positive de x, à l'inégalité /■(x)> 0. La théorie
des dérivées permet de résoudre le problème d'une manière beaucoup plus satisfaisante. En effet, une fonction étant croissante quand sa dérivée est positive (169), il s'ensuit que si l'on peut trouver une valeur "k de x, qui rende f(x) positive, et à partir de laquelle la dérivée f (x) reste positive, la fonction f (x) restera positive à partir de x= i. De même, pour trouver une valeur de x , à partir de laquelle la première dérivée reste positive, il suffit d'en chercher une à partir de laquelle la deuxième dérivée reste positive. Et ainsi de suite.
En résumé, si un nombre X, substitué à x, rend positives f (x) et toutes ses dérivées, cette fonction reste positive à partir de x = X.
De plus, le polynôme f (x) croît indéfiniment avec x, à partir de cette même valeur h
En effet, remplaçons x par X -4- A, A étant positif; nous aurons
Or, dans le second membre, tous les coefficients sont positifs : on retombe donc sur un cas déjà examiné (SS§).
Pour trouver X, on part de /*~*(x), et Ton cherche le plus petit nombre entier qui rende positive cette fonction (*). Si ce nombre, substitué dans r^\x), donne un résultat négatif, on l'augmente de 1, 2, 3, ... unités. On continue de la même manière, en remontant jusqu'à f(x). Il est évident que l'on n'a jamais besoin de revenir sur les essais déjà tentés.
