Application, — Soit

(*) Od peut même prendras comme point de départ, la première des dérivées qui présenieol une seule variation de signes.

196 ALGiSRE.

La première méthode donne

Pour appliquer la seconde, on forme les polynômes

= Mjf -k- i44x» — 5X-4-8,

Ces (rois dérivées sont positives pour x=^ 1 ; mais, si Ton remplace x par 1 dans f{x)y on trouve un résultat négatif. Au contraire, x=2 donne f(x) > 0. On peut donc prendre

%A%. Problémb II. — Étant donné un polynôme

trouver une valeur positive de x telle, que le résultat de la stiJ)stitution ait le signe du premier terme, et soit, en valeur absolue, inférieur à un nombre donné 3,

En posant x = ^ , on devra , si Aq est positif, satisfaire aux inégalités

Ao A| ^1» ^ n

Ao A| Aj,

ou, puisque z est positif, à ces deux-ci :

Ao^' -+- AjZ»-* -+- ... -*- A, > 0, (8)

' Jz^+p — (Agz" -*- A^z"-* H H A,) > 0. (9)

C'est à quoi Ton parviendra, dans chaque cas particulier, en

PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. i97

appliquant Tune ou Fautre des solulions du premier problème.

MS. Applications. — I. Trouver une valeur positive de X satisfaisant atÂX conditions

a:» -+- Sx* — 7a:* — 12x« -f- â4x' — I50x* > 0, X» -¥- Sx* — 7x* — i 2x« -^ 24x' — 1 50«' < 0,01 .

Les inégalités (8), (9) deviennent

z» -4- 8z* — 7z' — 12z' -H 24z — 150 > 0, (iO) 0,01.x* — («» -4- 8z*— 7z' — i2z' -t- 24z — 150) > 0. (il)

On satisfait à la relation (1 0) par z ^3, et à la relation(l 1), par z^6. Conséquemmenty pour résoudre la question proposée, il suffit de prendre a;^|.

II. Trouver une valeur négative de x qui, substituée dans le polynôme

donne un résultat négatif inféfieur, en valeur absolue, à 0,01.

Changeant x en — a/, on devra satisfaire, par une valeur positive de x', aux inégalités

ou, ce qui est équivalent, à celles-ci :

2x'* — 7x'» — 12x'« ■+■ fkx' -+- 24x'« > 0, 2x'* — 7x" — 12x'* H- 4x" -+- 2ix'» > 0,01.

Remplaçant x' par^, on a ensuite :

Opérant eomme dans I exemple précédent, on trouve enfin

S44. Théorème VL — Toute fonction entière et rationnellej d'une variable Xj est continue.

Soit

En premier lieu, à toute valeur réelle et finie de x, correspond une valeur de y, réelle^ finie et déterminée.

D'un autre côté, on peut toujours attribuer àxun accroissement h assez petit pour que Vacaroissement correspondant kde y soitj en valeur absolue, inférieur à un nombre donné.

En effet,

r Ix) T" (x)

Or, le second membre est une fonction entière de h , ordonnée suivant les puissances croissantes de cette variable (%4%); donc, etc.

%4kS. Remarque. — Lorsque Taccroissement h est suffisamment petit, k prend le signe de f (x). Ce résultat s accorde avec celui que Ton conclut de la théorie des dérivées (ISS).