TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS.— LIMITES DES RACINES
•âO. En général y transformer f(x) = 0, c'est chercher «ne autre éqvaiionj F(y)=0, dont les racines aient, avec les racines de la proposée, une relation donnée. Les queslions suivantes éclairciront celte définition.
>â9« Problème I. — Multiplier, par un nombre donné k, les racines d'une équation
Ici, la relation donnée est y=kx, ou x=^ . Remplaçant x par cette valeur, on trouve
A^" ^ A,%— * -+- A,feV ' -^ - H- A.»^ik"^*y -*- A^fc"* = 0. (2)
On voit que les coefficients de la transformée sont égaux à ceux de la proposée, multipliés par les puissances succèssites de k.
949. Problème II. — Transformer une équation, qui a des coefficients fractionnaires, en une autre dont les coefficients soient entiers, et dont le premier terme ait pour coefficient l'unité.
En chassant les dénominateurs, on mettra la proposée sous la forme (1), les coefficients Aq, A^, A^, ..., A^ étant entiers. Gela étant fait, Téquation (2) sera la transformée cherchée, si Ton peut disposer du nombre entier k, de
manière à rendre divisibles , par Aq, les produits A|i, \^\ A^lfi, ..., A^k^. C'est h quoi Ton parvient aisément, dans chaque cas particulier.
Soit, par exemple,
ou
Ux* — 450x* -4- 168x* — 32x« -♦- 27x -^ I ! = 0. Posant x=|, on obtient
25* . .. . a» . 9ik* nt
Les fractions ^9 ^y |» îî étant irréductibles, les coefficients seront entiers si les fractions ^ » -^ > g ' ij se réduiseni à des nombres entiers.
La première condition donne X: = 4*', k' étant un nombre entier. La deuxième devient 5^- = entfer, ou (*) ^= entier; d'où résulte (**) A' = 3*", *" étant aussi un nombre entier; etc. On trouve enfin que la plus petite valeur admissible de k est 12. Par suite, la transformée demandée est
ff — 75y* -t- i 008y» — 2 304y' -♦- 24 528^ h- 1 14 048 = 0.
tâS. Problème III. — Diminuer, d'une quantité donnéeh, les racines d'une équation f (x) = 0.
Première solution. — De y=x — A, on conclut d'abord
/■(ft-hy) = 0;
(*) Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs, et qui est premier avec l'un d'eux, divise Vautre. (B., A., 89.)
(**) Tout nombre premier, qui divise un produit, divise au moins un des facteurs. (B., A., 91.)
