TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS

puis, par le Théorème de Taylor,

Telle est la transformée.

Seconde solution. — Divisons f(x) par x — A, puis le quotient par x — A; et ainsi de suite. Nous aurons

/•(oc) = (x - A) Q, -^ Rm Q. =(« — A)Q,H-R„

les restes R^, Rj, ..., R^, et le dernier quotient Q^ (*), sont indépendants de x. Pour éliminer Q|, Q2, ..., Q»^, multiplions les deux membres de la deuxième équation par X — A, les deux membres de la troisième par (x — A)*, etc., puis ajoutons les résultats : il vient

nx)=

R.-^R,(x-A)H"R5(x-A)«^...-i-R„(x-Ar-*-^Q,,(x-A)"'; en sorte que la transformée, dont Tinconnue y égale x — A,

•&•• Remarques. — I. En comparant les développements (3), (4), on trouve, à cause de -£yîI-==Ao===Q« :

II. Le calcul des restes R.|, R2, Rj, ..., R„ est très-rapide,

(*) Ce dernier qaotient esi égal au coefficient Aq du premier terme de

au moins quand la quantité A est entière, si Ton emploie un procédé bien connu, mais que nous croyons cependant devoir rappeler ici.

Soit à diviser

AqX" -h AiX* * -+■ A^x*"* H — -f- A^iX -H A^

par le binôme x — a ; soient

Box"^* -t- B.X"-' -+- B,x*-' H H B««,x -*- B.,

le quotient et R le reste.

En multipliant le quotient para: — a, ajoutant R au produit, puis identifiant avec le dividende, on troilve

Bo = Ao, B|=B0a-t-A|, Bt = B|a -f- A^, ..., B«i = B^,a -+- A«i, R = B^ia -*- A„.

Ces formules démontrent la règle suivante :

Pour obtenir le coefficient d*un terme quelconque du quotient (Bq excepté), on multiplie par a le coefficient précédenty et Von ajoute^ au produit^ le coefficient du dividende^ de même rang que le coefficient cherché.

m. Si la quantité h est fractionnaire, et égale à^, on

pose

P y = x 9 x' = qx, x"=qy;

d'où '

x' x = ~5 x=x"-4-p, x"=^qy, (5)

Ainsi : 1® on multiplie par q les racines de la proposée; 2*^ on diminue de p les racines de la première transformée; 3** on divise par q les racines de la deuxième transformée.

!i&t« Applications.