LIMITES DES RACINES

être réduite à la recherche d'une limite supérieure des racines.

III. / étant une limite supérieure des racines^ toute quantité plus grande est également une limite supérieure (*).

IV. Si le polynôme f(x) reste positif à partir de aî=i, la quantité X est une limite supérieure des racines de Téqualion f(x) = 0.

Cette dernière remarque sert de base aux méthodes suivantes :

t66. I** MÉTHODE. — On obtient une limite supérieure des racines en ajotitant l^unilé au plus grand coefficient négatif, pris positivement (**).

Représentons, comme dans le n"" 9S9, par ( — N) le plus grand coefficient négatif de Téquation /'(x) = 0, et faisons croître x indéfiniment, à partir de 1 -h N : le polynôme f(x), positif pour cette valeur de x, croîtra indéfiniment (9S9). Donc, etc.

95II. II® MÉTHODE. — On obtient une limite supérieure des racines en extrayant, du plus grand coefficient négatif pris positivement, une racine dont l'indice égale l'excès du degré de l'équation sur le degré du premier terme négatif, et en ajoutant l'unité à cette racine.

— Px*~' étant le premier terme négatif, et — N le plus grand coefficient négatif. Des raisonnements et des calculs analogues à ceux dont nous avons déjà fait usage (!iS9) donnent, successivement,

(*) Od ne doit donc pas dire : la limite supérieure des racines, mais bien : uiis timite supérieure des racines.

f *) 11 est sous-enlendu ici, comme dans le Problème IV, que le premier terme de réquation a pour coefficient Tunité.

9&9f. m*' MÉTHODE. — On obtient une limite supérieure des racines en décomposant le premier membre de l'équation en plusieurs polynômes présentant, chacun, au plus une variation (*), et en cherchant un nombre ï. qui les rende tous positifs.

Remarquons d'abord que si un polynôme (p (x), présentant une seule variation, est positif pour une valeur positive de x , il reste positif à partir de cette valeur.

Soit, pour fixer les idées ,

y(x) = x' -¥- âa:* — 3x* — 8x — 13.

L'inégalité (p(x) > 0, vérifiée pour x = % peut être écrite ainsi :

Si, dans la parenthèse, on fait croître x à partir de 2 (**), la partie positive augmente et la partie négative diminue; donc le polynôme <p (x) est positif pour x > 2 (***).

(*) Lorsqa^un polynôme, ordonné suivant les puissances décroissantes d'une variable a;, a ses coefficients réels, on appelle variation la succession de deux termes de signes contraires , et permanence, la succession de deux termes de même signe. Par exemple,

a* H- at* -♦- 2a;* — 7x* — 3a? -♦- !

présente deux variations et trois permanences. (**) Et même à partir de 1.

(***) Cette démonstration, dont nous avons déjà fait usage (•S6), prouve

LIMITES DES RAQNBS. S09

Soient maintenant <pi(x)y 72(^)9 ••• '^ polynômes» de même forme que (p(x), dans lesquels on a décomposé f(x)Ç'); soient X^y^f ... des nombres, au moins égaux à i, et tels que Ton ait

fi(ii)>0, f,(>,)>0, ...

Si X est le plus grand de ces nombre , le polynôme /'(x) reste donc positif à partir de x = X.

M8« Remarque. — Quelquefois , la décomposition du premier membre peut être effectuée de plusieurs manières, et alors on obtient différentes valeurs de 1. Il est évident que Ton doit toujours choisir la plus petite.

Si, par exemple,

f{x) = x' -*- X* — x' -^ X — iOOOO,

et que Ton prenne

on trouve ^=10 000. Mais, en groupant les termes ainsi :

(x» -^ X* — x' — -IOOOO) -H X,

on a A = 7.

9&9. IV' MÉTHODE (méthode de Newton). — On obtient une limite supérieure des racines en cherchant un nombre 1 qui rende positives f(x) et ses dérivées.

En effet, le polynôme f(x) reste positif à partir dex=A (tM).

que toute équation dont le premier memlfre présente une seule variation, n'a pas plus d'une racine supérieure à Vunité. On verra , dans le chapitre suivanl, un ibéorème plus précis.

(*j Od peut, évidemment, faire abstraction de ceux qui seraient composés de termes positifs.

ilO ALGÈBRE.

•••• Application des méthodes précédentes. — Soil

f{x) = 6x' -f- 24x* — X* -+- 8x* — i6x — 60. La première méthode conduit à

La deuxième donne

v/io.

La troisième :

suivant que I on décompose f{x) en

ou en

Pour appliquer la dernière méthode, formons les polynômes

Ces trois dérivées sont positives pour x = 1 ; mais, si Ion remplace x par 1 dans /"(x), le résultat est négatif. On doit donc prendre X «=3 2.

Si Ton change x en — x, on trouve, pour limite supérieure des racines de la transformée , X' = 4. Donc toutes les racines de Téquation proposée sont comprises entre — 4 et -H 2.

LIMITES DES RACINES. 2ii