CHAPITRE XV

EXISTENCE DES RACIiNES RÉELLES.

PréllmlBAlrefl.

Mit. Lehme. — Si deux qtumlités a, ^^ substituées à i dans f (x)y donnent des résultats de signes contraires, réquation f (x) = 0 a au moins une racine réeUe, comprise entre a et p.

Soit y pour fixer les idées, a < (3. Si Ton imagine que x varie d*une manière continue, depuis a jusqu*à (3, f(x) variera aussi d'une manière continue (944). Or, cette fonction était négative pour x = a et positive pour x = ^, ou inversement; donc elle a dû, au moins une fois, passer par zéro (*).

Mit. Remarque. — La démonstration précédente repose

(*) On peat modifier un peu la démonstration, de manière à la rendre encore plus évidente. Supposons i3 ^ a ^ 0 : on ramène aisément les autres cas à celvi-là. Supposons en outre, pour fixer les idées, f{a) ^0^ /'(/3) ^ 0. Enfin, soient P Tensembie des termes positifs, — N Tensemble des termes négatifs de f{x)^ de manière que f{x) = P ~ N. Si l'on fait cro^ x d*une manière continue, depuis a jusqu^à ;3, les polynômes P, N, dont tous les termes sont positifs, eroUront d'une manière continue. Or, pour â;=:a, P était moindre que N; et, pour a?=0, P est devenu plus grand que N. Donc, pour une ou plusieurs valeurs de a?, comprises entre a et jS, ou a eu P «= N , ou /* (a?) = 0. Après avoir fait ce raisonnement, Lagrange ajoute : « Comme deux mobiles qu'on suppose parcourir une même ligne dans le même sens, et qui, pariant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manièn^ que celui qui était d'abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l'autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. »