EXISTENCE DES RACINES RÉELLES

uniquement sur la continuité de la fonction considérée. Par conséquent y la proposition subsiste pour toute équation f(x) = 0, algébrique ou transcendante, dont le premier membre reste continu, quand x varie entre a et |3.

tes. Théorème I. — Si deux quantités a, |3 comprennent entre elles un nombre impair de racines de l'équation r(x)= 0, ces quantités y substituées à x dans f(x), donnent des résultats de signes contraires.

Soient a^byC^ ...,9 les racines comprises entre a et (3 ; soit (p(x) le produit des facteurs du premier degré, correspondant aux autres racines (t)9S) ; on aura

/■(x) == (x — a) (x — 6) ... (x — jf) y (x);

puis f (a) = (a-^a){cL — b) ... (a — j) ç» (a) ,

/•(p)=(^-a)(p-6)...(p~flf)y(P).

Les quantités cp(a), (p((3) ont même signe, sans quoi réquation (p(x) = 0 aurait au moins une racine comprise entre a et (3 ()9St) , et a, 6, c, ..., g ne seraient pas les seules racines de /"(x) = 0, comprises entre ces mêmes limites. D'un autre côté, les deux produits

conoposés chacun d'un nombre impair de facteurs, sont de signes contraires; car les facteurs du premier produit sont positifs, et les autres sont négatifs. Donc, etc.

9tt4. Théorème II. — Si deux quantités a, (3 comprennent entre elles un nombre pair de racines de Féquation f(x) = 0, ou n'en comprennent aucune, ces quantités, substituées à X dans f (x), donnent des résultats de même signe.

La démonstration est semblable à celle qui précède.

Théorème III (réciproque des deux premiers). — 1* Si deux quantités a, p, substituées à x dans f(x), donnent des réstUtats de signes contraires , ces quantités comprennent entre elles un nombre impair de racines de l'équation f (x) = 0 ;

2* Si deux quantités a, (3, substituées à x dans f(x), donnent des résultats de même signe, ces quantités comprennent entre elles un nombre pair de racines de l'équatm f (x) == Oy ou elles n'en comprennent aucune.

•••• Théorème IV. — Toute, équation algébrique, de degré impair, a au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.

Soit d'abord Téquation

/•(x) = x~ -+- Bx— * H h Sx — T = 0,

dans laquelle le dernier terme est négatif.

Si Ton donne à x la valeur zéro et une valeur positive/ sudisamment grande, le résultat de la substitution, d'abord égal à — T, devient ensuite positif (9S9). Donc Téqualion a au moins une racine comprise entre 0 et X.

La démonstration s'applique au cas où le dernier terme est positif.

WB'9* Théorème V. — Toute équation algébrique, de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins dettx racines réelles, l'une positive, l'autre négative. ' Même démonstration que pour le théorème précédent.

••S. Remarque. — Une équation de degré pair, dont le dernier terme est positif, peut avoir toutes ses racines imaginaires. Exemple : ac* -h 1 = 0.

Théorème de Beacarlcs.

9IMI. Lemme. — QfAand on multiplie un polynôme entier, ordonné suivant les puissances décroissantes d'une lettre x,

EXISTENCE DES RACIIfES RÉELLES. 215

par tin binôme x — a, a étant une qiuintité positive, le produit présente au moins une txiriation de plus que le multiplicande.

Supposons que le premier terme du polynôme soitx". Ce terme x*" commence un groupe de termes positifs, lequel est suivi d'un groupe de termes négatifs; celui-ci, à son tour, est suivi d'un groupe de termes positifs, etc. Enfin, le polynôme se termine par un groupe de termes tous positifs ou tous négatifs. Chacun de ces groupes peut, dans certains cas, être remplacé par un terme unique.

Cela posé, la multiplication dont il s'agit peut être indiquée comme on le voit ci-dessous :

— P" ... -^ Q" ... — R^^ ... db S'^ =F Ta