X--*-' ... — P'" ... -+- Q'"... — R'"... ± S'" zp ta

l"" Dans le multiplicande, la première série de termes négatifs commence par — P; la deuxième série de termes positifs commence par -h Q, etc. Une dernière série de termes, tous de même signe, commence par db S et se termine par d= T : ce dernier terme est supposé indépendant de X.

^ La multiplication par x donne des produits partiels, de même signe que les multiplicandes correspondants. Parmi ces produite partiels, ceux qui proviennent de — P, 4- Q, ..., ± S, =fc T, sont désignés par — P', -+- Q', ..., ± S', ± T'.

S"" La quantité a étant supposée positive, la multiplication par — a donne des produits partiels, de signes contraires aux multiplicandes. D'ailleurs, les degrés de ces produits sont respectivement inférieurs, d*une unité, aux

degrés des premiers produits. Par conséquent , $i le terme qui devrait prêcher immédiatement ( — P) ne manque paty ce terme, multiplié par — a^ donne un produit négaft/* ( — P"), de même degré que ( — F). Et si ce terme manqw, ( — P'Q est remplacé par zéro* Semblablement, les termes qui devraient précéder (-h Q), ( — R), ..., (d=S), donnent des produits (-i-Q"), (— R")> •••> (±8"), des mêmes degrés que (-h Q'), ( — R'), ..., (di S') : ces produits peuvent d'ailleurs, dans le cas d'un multiplicande incompkt, être remplacés par zéro.

4*" Il résulte, de cette discussion, que les termes du produit, désignés par (— P'"), (-1- Q'"). (— R"% ... , (± S'")» ont les signes des termes ( — P), (-h Q), ( — R), ..., (± S), qui leur correspondent dans le multiplicande. Quant aux derniers termes de ces deux polynômes, ils ont évidemment des signes contraires.

5*" Comparons actuellement le multiplicande et le produit ideocTk ( — P), il y a une seule variation, et il y en a au moins une de aT*"* à (— P'"); de (— P) à (h- Q), il y a une seule variation , et il y en a au moins une de ( — f") à (h- Q"')» etc. Enfin, de (=b S) à (ifc T), il n'y b pas de variation, et il y en a au moins une de (:k S'") k (qi Ta).

6" Le produit présente donc au moins une variation de plus que le multiplicande (*).

MH%. Remarque. — L'excès du nombre des variations du produit^ sur le nombre des variations du mfdtiplicande^ est un nombre impair.

1" Si le dernier terme du multiplicande est +T, le dernier terme du produit est ( — Ta); mais alors le premier

(*) La démonstration suppose que le groupe qui termine le muIUplicande contient au moins deux termes : si ce groupe était remplacé par uo seul terme, on ferait T ss 0, et le produit serait terminé par db S'" qp Sa. Les conclusions précédentes subsistent donc dans ce cas particulier.