EXISTENCE DES RACINES RÉELLES

polynôme a un nombre pair de variations , et le second en a un nombre impair : la différence entre ces deux nombres, c'est-à-dire Vexcès du second sur le premier, est donc un nombre impair,

3* Même démonstration dans le cas où le multiplicande se termine par ( — T).

t7t. Théorème de Descartes. — Dans toute équation complète ou incomplète, le nombre des racines positives ne surpasse pas le nombre des variations.

Soient a, b, c, ..., g les racines positives d'une équation f(x) = 0. Représentons par cp (x) le produit des facteurs correspondant aux racines négatives et aux racines imaginaires : nous aurons

D après le lemnie précédent, la multiplication par les facteurs successifs x — a, x — 6, ..., x — g doit introduire, à chaque fois, au moins une variation : par conséquent, lors même que f (x) aurait tous ses termes positifs , le nombre des variations de f (x) serait au moins égal au nombre des racines positives a, b, c, ..., g. C'est ce qu'il fallait démontrer.

f 9t. Corollaire I. — Toute équation dont le premier memh^e présente une seule variation, a une seule racine positive.

En effet, Téquation a au moins une telle racine (99^, M9); et n'en a pas plus d*une {*).

198. Corollaire II. — Si le nombre des variations surpasse le nombre des racines positives, l'excès est un nombre pair.

Reprenoiis l'égalité

f{x) = f (x) (x — a) (x — 6) ... (x — j), (') Voyez la troisième note de la page 208.

218 ALGEBRE.

et représentons par p le nombre des racines positives a, 6,

Le polynôme 9 (x) se termine par un terme positif; car réquation (p(x)==3 0 na aucune racine positive; donc ce polynôme présente un nombre pair de variations. De plus, la multiplication par x — a, par x — 6,... introduit^ à chaque fois, un nombre impair de variations (970). Le nombre v des variations de f(x) se compose donc d'un nombre pair, augmenté de p nombres impairs. Autrement dit,

V — p = nombre pair -h p nombres pairs = nombre pair.

974. Corollaire IIL — Le nombre des racines négatives d'une équation f(x) = 0 ne surpasse pas le nombre des ixiriations de la transformée en ( — x) (*).

On appelle transformée en ( — x), Téquation que Ion obtient en changeant x en ( — x) dans la proposée. Or, les racines positives de la transformée étant, abstraction faite du signe, égales aux racines négatives de la proposée, le nombre des variations que présente /*( — x) ne peut surpasser le nombre de ces dernières racines.

996. Corollaire IV. — Quand une équation f (x)=0 a toutes ses racines réelles, le nombre p d^s racines positives est égal au nombre v des variations, et le nombre n des racines négatives est égal au nombre \' des variations de la transformée en ( — x).

On peut d'abord observer que la somme vh- v' de ces deux nombres de variations ne surpasse pas le degré m de I équation. En effet, si Téquation est complète, cVst-à-dire si f(x) renferme m-hi termes, la somme du nombre des variations et du nombre des permanences de f(x) est égale à m; mais, quand on change x en ( — x), les varia-

(*) Cet le proposition complète le Théorème de Descaries.