EXISTENCE DES RACINES KÉELLES
tiens deviennent des permanences, et réciproquement (*) : donCy dans ce cas, t; + t;'=m. D'un autre côté, si Ton supprime quelques termes de f(x)f les nombres v, v' pourront bien diminuer, mais ils n'augmenteront pas : donc, en général,
Supposons actuellement que toutes les racines soient réelles, auquel cas
La comparaison des relations (i) et (2) donne
Or, p ne surpasse pas v, n ne surpasse pas v'; donc
En outre.
t9#. Corollaire V. — Si la multiplication de f (x) par X — a introduit 2k -h 1 variations, f (x) = 0 a, au moins, 2k racines imaginaires. (Sturm.)
Soient 2t le nombre de ces racines, et v le nombre des variations de f(x). On a , en conservant les notations précédentes,
donc
(x — (^f{^) ayant, par hypothèse, v-h2A"+-l variations, la
transformée en — x en a, tout au plus, m-i-l — (t?-i-2A:-i-l).
Ainsi
n En effet, de deux termes consécutifs, un seul change de signe : c'est celui qui contient une puissance impaire de x.
Coiiséquemmenty
m — V — 2fc ^ m — V — 2t ,
ou
999. Remarques. — I. Le Théorème de Descartes, appliqué à une équation incomplète, indique presque toujours Texistence d'un certain nombre de racines imaginaires (*). Soit, par exemple,
D après le nombre des variations de f(x) et de /"( — x), on trouve que cette équation a, au plus, deux racines positives et une racine négative : elle a donc, au moins, six racines imaginaires.
IL En particulier, s'il manque un terme entre deta: tet^mes de même signe, l'équation a, au moins, deux racines imaginaires.
Prenons
f{x) = X" -+-... ± Gx« db Hx»-' ^ h T.
Quel que soit le signe de x, il n'y a aucune variation entre ± Gx' et ± Hx^*. Conséquemment, en employant les relations précédentes :
