V -H v"^ (m — q) -^ q — 2, ou
et , à plus forte raison ,
(*) Cependant une éqaaillon incomplète peut avoir toutes ses racines réelles : Téquation ic*~7jî-f-6 = 0a pour racines -♦- 1 , -♦- 2, — 3.
EXISTENCE DES RAONES RÉELLES^ »i
III. Ce n'est pas tout : Si, en multipliant f (x) par un binàme convenablement choisi, on peut faire disparaitre un certain nombre de termes, l'équation f (x)=0 a des racines imaginaires.
Soit, par exemple , Féquation
x^ H- jt" h- a" -4- X*' — X* — X» — X* -♦- x' -♦- X -♦- 1 = 0.
L'application du Théorème de Deseartes et du Corollaire III donne seulement
Mais, si Ton multiplie le premier membre par x — 1, Téquation devient
ou
ei, par le changement de x en — x :
ar" *«• H- x' -^ X* — X» — i = 0.
Ainsi y
La proposée a donc, au moins, huit racines imaginaires.
A a Ire* Ihéorèate*.
9HH. Théorème de Rollb (*). — Deux racines consécutives d'une équation algébrique comprennent entre elles un nombre impair de racines de l'équation dérivée.
Soient a, b deux racines consécutives de Téquatlon /•(x) = 0; et, pour fixer les idées, supposons o < 6. Si x
(*) Michel Rolle, membre de l'Académie des sciences, mort au commencement du dix-huitième siècle.
varie entre a et 6 , f(x) conserve le même signe dans Tintervalle : admettons que ce soit le signe +. Pour x = a, la fonction f{x) est crowante (f #9); donc la dérivée est positive. Au contraire , f(x) est déaroissante pourx = 6; et la dérivée est négative {*). D après le Théorème III (wn)^ les quantités a, 6 comprennent donc entre elles un nombre impair de racines de 1 équation f (x) = 0.
199. Corollaire I. — Entre deux racines œnsécuiives de f '(x)= 0, il ne peut y avoir pliu d'une racine de f(x)=0.
Soient a^ , 6^ ces deux racines consécutives. Si Ton pouvait avoir
il n'y aurait, entre a et 6, aucune racine de Téquation f(x)==0; contrairement au théorème.
i99#. Corollaire II. — Les racines réelles de l'équation dérivée séparent les racines réelles de l'équation primitive.
En effet, si ag, 61, Ci, ... sont les racines réelles de f(x)=^0, rangées par ordre de grandeur, il ne peut y avoir, entre a^ et 6-1 , plus d'une racine de f(x) = 0. De même pour 6^ et c^ ; etc. (**).
98t. Corollaire III. — Si l'équation f(x)=0 a toutes ses racines réelles et inégales, chacune des équations f (x)=0, r'(x) := 0, ... a aussi toutes ses racines réelles et inégales.
989. Théorème de De Gua (***). — Quand une équation a toutes ses racines réelles, le carré d'un coefficient quelconque surpasse le produit des deux coefficients voisins.
(*) Ces proposiUoDS, évidentes à l'îDspection de la courbe représentée par y S3 f{x)^ supposent que a, b sonl des racines simples.
(**) C*est sur cette remarque, bien simple, que Rotle avait établi 1^ Méthode des cascades.
(***) Académie des sciences, 1741.
