B»>AC, C*>BD, D«>CE

MS. Corollaire. — 5i les coefficients ne satisfont pas tous à la condition énoncée, l'équation a des racines imaginaires.

994* Remarque. — La réciproque du théorème de De Gua n'est pas exacte : Téquaiion

x' -^ SC^ — X* — X* -♦- X* -H x' — X — 1=0,

qui satisfait à toute$ les conditions énoncées, a des racines imaginaires. En eflfet, le premier égale(x-*-l)*(x—l)(x*-»-î).

I. Théorème. — Si trois tenues consécutifs sont en progression par quotient^ l'équation a des racines imaginaires.

II. Théorème. — Si les coefficients de quatre termes consécutifs sont en progression par différence, Véquation a des racines imaginaires. (Hermite.)

III. Théorème de Fourier (*). — Soient X = 0 une équation donnée, et X\ X", ..., X^"' les dérivées successives du premier membre : la différence entre le nombre des variations de la suite X, X', X", ..., X**^, pourx=ay et le nombre des variations de la même suite pour x = P, n'est pas moindre que le nombre des racifies réelles de Véquation, comprises entre a et ^.

IV. Théorème. — Si l'équation f(x)=0 a toutes ses racines réelles et inégales, l'équation obtenue en ég(dant à zéro la seconde dérivée de j-r, a toutes ses racines imaginaires.