RACINES ÉGALES. S

ce binôme n*est donc pas facteur de f (x). Le même raisonnement est applicable aux binômes x — 6, x — c, ..., x — /; donc f{x) et f (x) sont premiers entre eux.

St9. Théorème. — Si une équation f(x)«=0 a des racines égales, les polynômes f(x)y r(x) ont un plus grand commun diviseur formé du produit des facteurs correspondant aux racines égales, chacun d'eux étant pris une fois de moins que dans f (x).

Pour fixer les idées , supposons que Téquation f(x)=0 ait p racines égales à a, 9 racines égales à 6, r racines égales B c, et un certain nombre de racines simples. En représentant par tf (x) (*) le produit des facteurs correspondant à ces dernières racines, nous aurons

f(x) = (x - a/ (x - 6)' (x - cy f (x). (\)

Par suite,

rW p 7 r f'(x)

f{x) X — a X — 6 X — c »(x) et

/"'{x) = D[Haf)-^{x-a)(x-6)(x-c)/(x)], (5)

si Ton fait ; pour abréger :

D = (x — a)»^* (x — 6)'-* (x -- cy-'.

Cela posé» les polynômes f(x)f f*(x) sont divisibles par D. De plus, le raisonnement employé ci-dessus (Sflf ) montre que les quotients ^^ tlM sont premiers entre eux; donc f(x) et f (x) onif pour plus grand commun diviseur, le produit D.

(*) Si réqnatioo proposée n*a qne des racioes multiples, f (x) se réduit à Tunilé.

SIS. Corollaire. — Pour qu'une équation f(x)=0 ait des racines égales, il faut et il suffit que les polynômes f (x), r (x) aient un commun diviseur, ou, ce qui est éqiiî?aleDt, que cette équation et l'équation dérivée, (' (x)= 0, aient une ou plusieurs racines communes,

SI A. Les explications précédentes montrent comment on peut reconnaître qu'une équation f(x)^=»0 a des racines égales. On peut aller plus loin et ramener la résolution de ((x)=0 à la résolution d'autres équations donnant, respectivement, les racines simples, les racines doubles^ les racines triples, ..., de la proposée, abstraction faite des degrés de multiplicité de ces racines.

Représentons par X| le produit des facteurs correspondant aux racines simples, par Xj le produit des facteurs correspondant aux racines doubles, par Xg le produit des facteurs correspondant aux racines triples, ..., diaque facteur étant pris une seule fois; et, pour fixer les idées, supposons que la proposée n ait aucune racine dont le degré de multiplicité surpasse 4. Nous aurons

/"(x) = X.XÎXÎXt

Soit D le plus grand commun diviseur enti-e f(x) eif(x) : d'après le théorème ci-dessus, D = XjXJX'.

De même, le plus grand commun diviseur entre D et sa dérivée est Di = XjXÎ.

De même encore, le plus grand commun diviseur entre D^ et sa dérivée est Dj = X4 .

D2 ne contenant plus de facteurs multiples, le plus grand commun diviseur Dj, entre ce polynôme et sa dérivée, serait Tunité.