RACINES ÉGALES

Divisons f(x) par D» D par Di» etc.; nous aurons :

— — =Q ssXiXjXjXi, D

Di

En troisième lieu» divisons Q par Q|, Qi par Q^» etc.; nous aurons enfin :

7r=Xi, ---=i=Xj, pr"^^^»» Qs^X^.

vil va v«

Les équations cherchées sont donc :

StS. Remarques. — I. L'équation Q = 0 admet toutes les racines de la proposée, mais chacune d'elles une fois seulement.

IL A cause des longs calculs qu'exige la méthode des racines égales, on doit, avant de l'appliquer à une équation proposée, s'assurer que celle-ci n'admet aucune racine cornmensurable.

III. La remarque précédente et les théorèmes I et II, énoncés ci-après, prouvent qu't7 est inutile d'appliquer la méthode des racines égales aux équations des dnq premiers degrés,

•!•• Application.

/•(x) = x*— 7x* -4- 4x' -♦. 7x« - 2x — 2 = 0. Le plus grand commun diviseur entre f(x) et f (x) est

On a ensuite puis :

^ =X.=:x*H-2x— 2, Q, = X, = x« — x—l; Qi

donc

f{x) = (x« ^ 2jr — 2) (x' — X — i)*.

I. Théorème. — 5t une équation a une seule racine multiple, cette racine est commetisurable (*).

IL Théorème. — Si une équation a des racines dont les degrés de multiplicité soient différents les uns des autres^ ces racines sont commensurables (*).

m. Théorème. — Si f (x) est divisible par (x— a)", a est racine des équations

Ax)=o, rw=o, rw=o, ..., r-'{x)=o;

et réciproquement.

IV. Exprimer que Féquation aJ"H-pat"-i-ç = 0 a une racine double.