THÉORÈME DE STURM

SI 9. Le théorème que nous allons exposer fait connaître exactement le nombre des racines d*une équation proposée, comprises entre deux quantités quelconques. Au point de

C) Charles Starm, géomètre profond, professeur remarquable et homme exoelleoi; né à Genève, le 29 septembre 1S03; mort ii Vanves, près de Paris, le 18 décembre 1855.

vue de la théorie pure, il est beaucoup plus satisfaisant que les Théorèmes de Descartes , de Rolle , de Fourier (*), ... : OD pourrait dire qu'il est la perfection même. Malheureusement, les calculs qu'il exige en rendent rapplication fort difficile, dès que Féquation s'élève au cinquième degré.

SIS. Soit V=0 une équation qui n'a pas de racines égales. Soit Vi la dérivée de V. G)ncevons que l'on cherche le plus grand commun diviseur entre V et V| , en ayant soin, après chaque division, de changer le signe du reste. Soient Vj, V», ..., V^ (**) ces restes ainsi modifiés : V, est numérique, attendu que V et V| sont premiers entre eux. Cela posé, on a la proposition suivante :

Si9. Théorème. — Si, dans la suite des fondions

V, Vj, Vj, ..., V,., (A)

on remplace x par des ^puintités quelconques a, |3; l*excès du nombre de variations de signes que présente la suite pour x = a, sur le nombre de variations qu'elle présente pour X =s ^, égale le nombre des racines de V=0, comprises entre a et (3. (On suppose a < p.)

Démonstration. — 1® Si l'on fait croître x, d'une manière continue, depuis a jusqu'à P, les fonctions conservent leurs signes respectifs, tant qu'aucune d'elles ne s'annule : le nombre des variations de la suite (A) sera donc ce qu1l était pour x = a.

3* Deux fonctions consécutives ne peuvent s'annuler en mime temps,

La proposition est visible pour les fonctions V, ¥« , puisqu'elles n'ont aucun facteur commun. Soient donc trois

n Voir p. m.

(**) Ces notations sont celles qae Slurm a employées dans le célèbre Mémoire présenté, en 1829, à TAcadémie des sciences de Paris.

THÉORÈME DE STVRM. 349

fonctions intermédiaires quelconques , V^,, V„, V^,. On a, entre ces quantités, la relation

Q. représentant le quotient de V,^ par V„. Si les fonctions y^y V,^ s^annulaient pour une même valeur de x, x=y, cette valeur annulerait aussi Y^i; et, en remontant dans la suite des égalités dont(l) est le type, on trouverait que x=y annule, simultanément , V et V| (*).

3® Si une valeur particulière de x annule une fonction intermédiaire, la fonction précédente et la fonction suimnte présentent une variation.

En eflTet, lorsque V„==0, l'égalité (1) devient V«^=—V^.

4* Tant que x ne devient pas égal à une racine de V==Oy le nombre des variations de la suite (A) est constant.

Soit y une valeur de x qui annule V„. Soit A une quantité assez petite pour que, de x=y — h à x^^^y-^-hy aucune des fonctions V«i, V,^^^ ne s'annule. Les signes des résultats peuvent être figurés ainsi (**) :

Or, quels que soient les signes que Ton attribue à V„, dans la première ligne et dans la troisième, les trois fonctions présentent et conservent une seule variation.

5* Lorsque x devient égal à une racine a cfe V= 0, /a stUte (A) perd une variation,

(*) On peut aussi procéder par voie descendanU ; et alors on arrive k cette ooocittsîon absnrde, que la quantité numérique Vr s*aDnule pour œ=fy.

(**) Pour fixer les idées, nous supposons que, des deux quantités V«i, V»f I, égales et de signes contraires pour a;=s^, la première soit positive pour cette valeur de x.

Si, de x=a — A à x==a+ A, la fonction Vi reste po$îtive, la fonction V, qui a pour dérivée V| , est croissante (ta9); donc elle passe du négatif au positif. Au coniraire, si la dérivée V| reste négative, la fonction V est décrmsanté : elle passe du positif au négatif. Dans les deux cas, les fonctions V, V| présentent une variation pour x=a— A, et une permanence pour x =sa -h A.

6® Puisque la suite (A) perd une variation chaque fois que X devient égal à une racine de Téquation V=0, comprise entre a et p, autant il y a de ces racines, autant il y a de variations perdues. C'est ce qu'il fallait démontrer.

S90. Application, — Combien l'équation

a-t-elle de racines positives?

Voici le tableau des calculs :

4x' — ox-4-4

42x' — 32xHh-4 — 23X — 8

4x* — 3x -f- 4 2ii6x« — 1 587x-t-2i46

Ainsi :

V = X*— 2x'-*-x--l, V, = 4x» — 4xH-1,