THÉORÈME DE STURM

On a ensuite :

x = -t-ao -♦- H- -♦- -♦- —

L'équation a donc une seule racine positive.

Sf i. Remarques. — I. Conformément à une remarque déjà faite (son), nous avons multiplié certains dividendes par 4 et par 23' s= 529. Les facteurs que Ton introduit ainsi, dans le dessein de simplifier le calcul » doivent être essentiellement positifs,

IL Le Théorème de Sturm est applicable , moyennant quelques modifications, à une équation qui a des racines égales. Si 9 d'ailleurs, au lieu de trouver un reste numérique — V, , on arrive à une fonction V^ qui divise exactement la fonction précédente, on remplacera la proposée pary-=0 (SiA); et, au lieu de la suite (A), on prendra

yj yj yj "" v« •

C«BdlUoB« de réalllé des nMlnea*

Sft. Le Théorème de Sturm donne, de la manière la plus simple possible, les conditions nécessaires pour qu'une équation

x* H- AiX"*"* -♦- AjX*~' -f- ••• -H A. |X -f. A„ = 0,

dont les coefficients sont inconnus, ait toutes ses racines réelles. Pour qu'il en soit ainsi : l"* la suite (A) doit renfermer m -h 1 fonctions; 2* les coefficients des premiers termes de ces fonctions doivent être positifs. En effet, si ces deux conditions n'étaient pas remplies, la suite (A) ne pourrait perdre m variations, dex = — oo àx = -hoo. Le nombre des inégalités de condition semble donc être

m H- 1. Mais y comme les premiers termes des foDctions V, V^ sont a", maT"*, ce nombre se réduit à m — 1 (*). S9S. Àpplicatwn au troiiième degré. — Soit

V = x* -♦- px H- ç; d'où résultent :

V,=3x'-i-p, V,« — 2px — 3?, V,= — 4j>» — 279'.

Les conditions énoncées sont

^p>0, - ip» - 277» > 0; et celles-ci se réduisent &