ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ ET DU QUATRIÈME DEGRÉ

DlflcusatoB de x* + po; + g ^ 0.

394t« En faisant disparaître le deuxième terme (9ft)i) d'une équation quelconque du troisième degré, à une seule inconnue et à coefficients réels, on la réduit à la forme

x'-t-px -♦- g = 0, (I)

p et f étant des quantités réelles.

Sans rendre Téquation (1) moins générale, on peut supposer le dernier terme positif. En eiFct, lequation

x'-*-px — 9 = 0, (2)

(*) Ces deux exemples sont tirés d*an Mémoire de M. Midy, publié en 1836. Ils justifient ce qne nons avons dit ci-desstts (SflV). Remarquons d'ailleurs que les longueurs de calcul, inhérentes à Tapplication du Théorème de Sturm, sont précisément celles qui rendent presque illusoire la Méthode des rcuiines égales (si*» II).

S5i ALGÈBRE.

a ses racines égales et de signes contraires aux racines de réquation (1).

Cela posé, si le coefficient p est posilif, il résulte immcdiaiementy du Théorème de Descartes , que réquatioo (1) a une seule racine réelle, laquelle est négative (*). Par codséquenty pour que celte même équation (\) puisse avoir ses trois racines réelles, p doit être négatif. Changeons doDC p en — p'f et discutons Téquation

en supposant

Désignant par y le premier membre, et faisant varier x, de 0 à H- ï/p' (**), on voit que la fonction y, égale à q pour ces valeurs extrêmes de x, a un minimum, déterminé par 3x* — p'=0 (tOA), ou x = -h y^. Suivant que ce minimum, égal kq — \p' |/Z, est positif, nul ou négatifs Téquation (3) a deux racines imaginaires, ou detix racines positives égales, ou deux racines positives inégales C**)'

D'après cela :

1® La condition de réalité et d'inégalité des trois racines de réqualion (1) est ç < |p' |/f , ou 27ç« < ip'», ou enfin, à cause dep'= — p,

ainsi qu'on pouvait s'y attendre, elle est indépendante du signe de q (****).

(*) A cause de 9 ^ 0.

(**) Celle dernière quantilé est évidemmeut une limite supérieure des racines.

(***) On rend cette discussion encore beaucoup plus simple, si Voa considère la courbe dont y est Tordonnée.

{****) Celte condition a élé trouvée ci-dessus (s t s), au moyen du Théorème de Sturm.

ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ. fôâ

2* Si 4p»-f.277' = 0,

réquation (1) a detéx racines égales.

S"" Enfin, la relation

exprime que Téquation (1) a deux racines imaginaires.

SM. Remarques. — I. La condition p < 0, que nous avons trouvée en commençant, est comprise dans la relation (4).

IL Quand Téquation (1) a ses trois racines réelles, les deux racines de même signe sont comprises, Tune entre 0 et ± J/I^, l'autre entre db j/HÎ et d=l/^.

SMI. Soit d'abord l'équation

qui donne

En la mettant sous la forme x' — 1 = 0, ou

(x — 1)(x'-4-a;-*- i) = 0, on voit qu'elle a pour racines

x = i, x = -^(i=bl/3l/=n[). (7)

Par conséquent, l'unité positive a trois racines cubiques; l'une de ces racines est égale à -h l^ et les deux autres sont imaginaires.

S97. Remarques. — L Les trois valeurs de v — 1 sont, à cause des formules (7),

II. Des deux racines cubiques imaginaires de tunitij l'une est le carré de l'autre. En effet, a, p étant ces racines, on a simultanément, à cause de x* -f- x -h 1 = 0 :

P -f-a = — I; donc P = a'.