Considérons è présent Féquation

ou, ce qui est équivalent, la formule

x=\yk; (9)

et , pour abréger, supposons A > 0.

En représentant par a la valeur réelle de x, ou la valeur arithmétique devKy et posant x = ay, nous réduirons réquation (8) à

Par suite, toute quantité positive A a trois racines oibiqueSf que l'on obtient en multipliant la valeur arithmétique de VA par les trois racines cubiques de Funité.

999. Plus généralement, si a désigne une valeur quelconque de W^, et que 6 et 6^ soient les racines cubiques imaginaires de Vunité (89tt), les deux dernières valeurs de V/A sont a6 et a6', même lorsque A est imaginaire.

Ce dernier cas donne lieu au prçblème suivant.

SSO. Problème. — Ramener l'expression J/Ah-BI/— 1 à la forme a h- p 1/ — 1.

De

on conclut, en élevant au cube,

e(, par les propriétés des modules (909),

ÉliminaDt ^^ ou a' entre cette équation et une des deux précédentes 9 on obtient, en représentant par y^ la valeur positive du radical, soit

a» — -r'a — tA^O, (il)

soit

Pour fixer les idées, considérons Téquation (11). Elle a au moins une racine réelle aj (*), dont on pourra trouver la valeur exacte ou une valeur approchée (Ghap. XVI et XXllI). Si ^i est la racine correspondante de Téqualion (1 2), donnée par la formule

l3, = ±»/;^rri;î(-),

les Irois valeurs de yk -h B 1/ — 1 seront a,^j3,v/irT, fl («I -H p, V/^ITT), e«(a,-*-p,V/^). SSt. Application. A = 68, B = — 142. On a d'abord

puis

4a»— 87a -^65 = 0; doù

Ainsi, Tune des valeurs de p^65 — 1421/— 1 est

(*j Les équaiions (H), (12) ont loules leurs racines réelles; mais celle circoDstaoce est indifférenle , quant à présent. n L^équatioD B=3«*i3 - jS* délermine le signe de jS,.

5 — 21/ — i. Les autres valeurs de ce radical sont

88t. Quand on cherche à réduire

x=Vx-^{/B-^ |/a— 1/B, (15)

on irouve (*)

D*après cette rennarque, il est naturel d*essayer de satisfaire à 1 équation

«■ -♦- px -+- 9 = 0, (<)

par une valeur de la forme (13).

Identifiant les équations (1) et (14), on a

p = — 3V/a« — B, y = — 2A; d'où résultent

Par conséquent ,

Ce résultat est connu sous le nom de formule de Cardan, bien qu'il soit dû à Tartaglia (**).

(*) Manuel des CandidcUs à VÈcole polytechnique, 1. 1, p. 44.

(**) Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XV. Saivant Descartes, Cardan n'aurait pas revendiqué, pour lui-même, la découverte dont il s*agit : « ... la règle dont Cardan attribue Pinuenlion à vn nommé Scipio Ferreus... » {Géométrie, édition de 1664, p. Î04).

\. Remarquée. — I. Les deux radicaux cubiques, conlenus dans cette formule , admettent chacun trois valeurs. Si on les associait arbitrairement , on obtiendrait n^/* valeurs différentes pour x, tandis qu'on n'en doit trouver que trois. Mais comme, en formant Téquation (1 4), on a supposé

on ne doit associer, parmi les valeurs des radicaux dont il s'agit, que celles dont le produit est ( — |j. Soient R^ , R^ deux de ces valeurs; soient, comme précédemment, 6, 6^ les racines cubiques imaginaires de l'unité : les racines de l'équation (1) seront

X| = Rj -f- R„ X, = R,« H- R,»*, j-8 = R|8' H- Rï^. (1 6)

II. La formule (i 5), prise dans toute sa géméralité, résout les trois équations

x'-4-px-i- 9 = 0, a;*-h«px-+-7==0, x'-*-8'px-f-qr=0 (*).

384. Applications. — 1. x'-h6x — 7= 0. La formule (1 5) donne

x=vl^^-^\/I-^=i^8^i^r.

On peut prendre R, = 2, Rj = — I. Donc

(*) En multipliant les premiers membres, on obtient réquation X* -I- 3gx* -4- (p" -♦- 3g*) x' -h g* = 0, (ionl les neuf racines sont données par la formule (lo).