Fonction exponentielle. — Considérons la série

En vertu du critère de d'Alembert (n° 32o), cette série est absolument convergente pour toute valeur de x. En effet, le module de u„j.i : Un est égal h \ x \ : nei tend vers zéro avec 1 : ii, quelque soit a,*. Cette série jouit de la propriété de se reproduire par dérivation et l'on a /'(O) = 1. Ces deux propriétés sulfisent pour montrer que la série a pour somme e^. On a, en effet,

Donc /'(a;)e-^ est une constante. Faisant .r = 0, on voit que cette constante est 1. Donc f{x) = e-^.

355. Fonctions circulaires. — Considérons les deux séries, dont la seconde est la dérivée de la première,

^^^^ ^ T ~ 3r + sT — ■' '''^^^ "^ '^ - ar + 4! ""•■•

Elles convergent |)our toute valeur de x comme la précédente, et l'on a

'f"{x)=-^[x), cp(0)==0. 'f'(0) = l.

Je dis qu'il en résulte 'f{x) = sin.r.

Il suftit de remarquer que l'on aura nécessairement

cp (j;)cosj; — cp'(:r)sina; = 0, cp(j-)sina; + (fi'{x)cosx = i .

En effet, les premiers membres sont des constantes, car leurs dérivées s'annulent en vertu des propriétés de cp. En faisant x = 0, on voit que ces constantes sont 0 et I. On tire alors des deux équations précédentes <f'xj = sinj' et '■y'{x)=^- cos.r.

356. Séries logarithmiques. — Pour développer Log (I + x], nous chercherons une expression parlicuHère du reste R„. Pour cela, nous paierons de l'identité

- 4 1 - (- xr + (- x)^ J^^^ ^^^ ^ {-x)n

Intégrons les deux membres de 0 à i;, ce qui suppose x > — 1 ; l'intégrale du dernier terme sera R« . Il vient ainsi

(1) Log(l+a^; = a'-^4-^— • + (-l)'^-^^4-Rn.

Nous nous servirons du théorème de la moyenne pour simplifier R;i ; nous pouvons écrire ainsi

r.r r^ifjr ( .|\n /-/ifi

R. -= (- 'i)" fr^ - T-TT- ^' (0 < 9 < I).

Donc Rn tend vers 0, si | a; [ est < 1 ou si i* = I. Pour x -= — 1 la série devient X«-^ et diverge. Donc le rayon de convergence de la série (1) est égal à l'unité.

La fonction Log (1 -^ x) est donc exprimable en série illimitée de Maclaurin si l'on a — 1 < a; < i, et la série illimitée diverge dans les autres cas.

Faisant x = [, on obtient la série semi-convergente

Log2=l-|+i-...

Le développement de Log . peut se déduire de celui de Log (1 + x). On peut aussi l'obtenir par un raisonnement analogue au précédent. On a

On multiplie par 2 et on intègre de 0 à a; ; il vient (2) LogP^ = 2Nc+^ + ^4--+^— r + R.

ç, ("^ x-"dx 2 a^'^^+i

et R,j tend vers 0 si a; est compris entre — 1 et + 1. Dans les autres cas, la série infinie diverge.

C'est la série (2) qu'on applique au calcul des logarithmes des nombres entiers. Faisons

x = t3i, d'où £ = 1±£,

et choisissons les entiers p et q de manière que | x \ soit < 1, On aura

Cette formule suffit pour le calcul des logarithmes des nombres entiers, car elle ramène le calcul du logarithme de p à celui du logarithme d'un nombre entier inférieur q et le logarithme de 1 est connu. En particulier, si p = 2, </ = 1, il vient

Los 2-2

Cette série est à convergence rapide et convient beaucoup mieux au calcul de Log2 que la première qui converge très lentement.

357. Développement de l'Arc tangente. — Ce développement s'obtient comme le précédent. Partons de l'identité

1 + iC2 i — {—X^) o '' ' 1 + ^•

Intégrons-la de 0 à a; ; il vient (0 < 9 < i) (3) arc igx=^x-'j-h~--- + {- D» ^-^ + R«

"~^ ' jo 4+.I-- "~l+e^'^2n+4"

Le reste est inférieur au premier terme négligé ; il tend vers 0,

si I X I ne surpasse pas l'unité. Donc arc tg x est représenté par la

série illimitée si x varie entre 0 et 1, limites comprises. Le rayon de

convergence est égal à l'unité, car c'est celui de la série dérivée

j:{—x^yK

En particulier, pour x ^ \, on trouve la formide de Leibnilz

Calcul de r.. — La série (3) peut servir au calcul de - de la manière suivante. On calcule d'abord l'arc 'f dont la tangente est 1 : 5. La formule donne

On a ensuite

*-> t"'j i) 2 te'' P 120

d'où

tg(4'^-|-

tg4'f — 1

l + lg4o 239 On conclut de là, par la formule (3),

^"^ 4 239 3 V239y On obtient ainsi la formule de Machin

358. Convergence de la série du binôme. — Si m est égal à 0 ou à un entier positif, on sait par l'algèbre que (1 + ^1"* peut se développer en un polynôme ordonné suivant les puissances ùex. Laissons ce cas de côté. Soit m un nombre positif non entier ou un nombre négatif. Considérons la série illimitée

Iwn= 1 + Ci.r + C,a-'- + •■• + C„;i-» -f ...,

OLi les coefficients sont formés comme ceux du binôme „ 771 (m — 1) ... (m — n + 1) '' "~ 1.2...» '

aucun de ces coefficients ne sera nul.

Le rayon de convergence de la série est égal à l'unité, car on a

Un ~ C„^i ~ 77

Ce rapport a pour limite — x pour n infini, donc la série est absolument convergente si | a: | < 1 et elle diverge si | a; | > 1 (n^ 32î)).

Si a; = -f 1 ou — 1, la discussion est plus difficile. On voit de suite que m 4- 1 doit être positif pour que les termes décroissent. C'est donc une première condition nécessaire pour la convergence. Quand elle est remplie, les termes décroissent constamment. Sia; = l, Un-^i'.Un devient négatif quand n surpasse 777 + 1, et les termes deviennent alternativement positifs et négatifs. Si a: = — 1, les termes finissent, au contraire, par devenir tous de même signe. Nous utiliserons celte remarque tout à l'heure.

Pour résoudre la question de la convergence, il faut étudier la loi de décroissance des coefficients quand /7i + 1 est positif.

A cet effet, observons que, d'après la règle de l'Hospital.les rapports

et

ont respectivement pour limites, quand n tend vers l'inlini, les deux quantités :

dont la première est < — 1 et la seconde > — 1 quand t est posilii".

Donc, quelque petit que soit le nombre positif e, on aura, à partir d'une certaine valeur de n,

nj n

il)

ce qu'on peut écrire

Cn-

Changeons n en n-\- \, n -\- 2, ...

résultats. Il vient

^n-\-p Cl})

n-\-p et multiplions tous les

n 4- py'

Donc, quelque petit que soit z, le produit {n + ;j)m+i-fe | q^^^^ | reste supérieur, quelque soit p, au nombre positif fixe «'»+'+' | C„ | , et le produit (n + ;j)'"^'-^ | Cn-i-^; | inférieur au nombre positif fixe n^n-\-i-t I ç;^^ I Q^ peut (Jonc trouver deux constantes positives A et B telles qu'on ait, quel que soit n,

Cn

Cn

,jl + (W?-£

Si m est négatif, m + s peut aussi être supposé négatif en prenant £ assez petit ; la première inégalité montre que la série I | d | a ses termes supérieurs à ceux d'une série divergente (n° 324) et cette série est divergente.

Si m est positif, m — s peut être supposé positif également ; la seconde inégalité montre que la série ï | C» | est convergente. De plus, dans ce cas, le produit nC„ tend vers zéro, car sa valeur absolue ne surpasse pas la (piantité B : w"-^ qui tend vers zéro.

Donc, si /« est compris entre — 1 et 0, la série du binôme ne peut être que scmi-conver(jen(e quand | .r ] = 1. Si .r = — 1, ce n'est pas le cas, car, comme nous l'avons fait remarquer tout à l'heure, tous les termes deviennent finalement de même signe. Mais elle sera semi-convergente si .r = i, car les termes finissent par devenir à signes alternés et de |»lus constamment et indéfiniment décroissants (n-^ 334).

En résumé, nous avons obtenu pour la série du binôme les résultats suivants :

A) La série sera absolument convergente : 1° dans tous les cas, si I a; I < 1 ; S*» Si .r = ± 1, pourvu que m soit positif.

BJ La série sera semi-convergente si x = \, m étant compris entre 0 et — 1.

C) La série sera divergente dans tous les autres cas.

359. Sommation de la série du binôme. — Il est facile de trouver la somme de la série du binôme dans tous les cas de convergence. Soit f [x) la somme des n premiers termes

r{x) ^ 1 + C,^- + C.x'^ +...4- C»i j:«-i . En observant que deux coefficients consécutifs satisfont à la condition «Ch— [m n + 1) C,,i =- 0, on vérifie de suite l'identité

mf{x) — (1 + x) f'{x) = (m — n + 1) C„i a-»-* = nCn a'"-* . En vertu de cette identité, on a

f{x) (1 + x) f\ X] — mfjx) ^ nCn x^~' (4 + xY" ' (1 + x)'"-^' (1 + a;)'«-î-i

et, en intégrant de 0 à a- (ce qui suppose a- > — 1, si m > 0),

iF.-*--"'^»r

On peut aussi écrire, en cbangeant la variable d'intégration x en tx,

En remplaçant [{x) par sa valeur, on tire des deux formules précédentes

ou bien

rx fii—i fjf

On obtient des expressions simplifiées de R„ , en faisant sortir du signe J , au moyen du théorème de la moyenne, un des deux termes de la fraction. La formule (5) donne ainsi (0 < 0 < 1)

1 L ri'"

Ces deux dernières expressions montrent que la série a pour somme (1 + ^Y" dum tous les cas de convergence.

En effet, la première montre que Retend vers zéro avec le premier terme négligé Q>nX'^ pour toute valeur de x > — 1. La seconde qui subsiste à la limite quand x tend vers — 1, montre que Rn tend vers zéro avec «C„ dans tous les cas de convergence où x = — 1, car m doit être positif pour que la série converge.

360. Cas particuliers de la formule du binôme. — I. Si l'on a x = — 1 et m > 0, l'expression (5) de Rn prend la forme 0. ^o, ce qui permet de se débarrasser du signe d'intégration. On fait tendre x vers — 1 et l'on applique la règle de l'Hospital à l'expression mise sous la forme ce : oc. On trouve

'8) R -»C y,^^l^^'rx)'"^-^xn-^dx (-j^

II. Si m est compris entre 0 et — 1 et a: > — 1, la formule (6) conduit à une expression très simple du reste. En effet, m + 1 étant négatif, on augmente l'intégrale en y remplaçant x par — \ et sa valeur s'obtient alors immédiatement en posant x = — 1 dans l'équation (4).

Il vient

p V'-^dt f V^~^dt (—1)»

Jo (1 + /^r"-^^ jo (l— 0'"+* nCn

Portant cette limite dans (6), on obtient la formule, utile surtout si X est négatif,

(9) R„ = 9 ( xy^ (i + xf\ (0 < 0 < 1).

Cette formule suppose donc m négatif et > — 1 .