TT

^>-ab^V ^"" «^'>1 + ^.

le module de R^^ surpasse celui de S/(, et c'est R;^ qui donne son signe à la somme S/t + Ra • O^^ peut donc encore écrire, jjl désignant seulement un nombre > 1,

On tire de là

Ce quotient croît donc infiniment quand k tend vers l'infini et, par suite, h vers zéro. D'ailleurs ce quotient a le signe de e^ ( — 1)^'' '' ' et on peut lui donnej- le signe que l'on veut en disposant de celui de e^ , on peut donc le faire tendre à volonté vers l'infini positif ou négatif, h tendant toujours vei's zéro.

Cet exemple prouve qu'// existe des fondions continues n ayant de dérivée pou 7' aucune valeur de la variable.

2° Dans le cas qui j^réctHle, la fonction ¥{x) a une inanité de tnaxima et de miniyna dans tout intervalle.

En effet, il existe dans tout intervalle une infinité de valeurs de ./• de la forme

où p et q sont entiers. Je dis que, quel que soit le nombre j)Ositif ç-, toute valeur paire de j) donne un inao:irnum et toute valeur impaire un minimum.

En effet, reprenons la démonstration précédente en donnant à a- une valeur semblable. Dès que h sera =^ ou > q^ on aura b'^x -= b^-^tp. Donc b)iX est un entier de même parité que p et ( — l)^^~'''peut être remplacé par ( — 1)^^"^^ Par suite, le quotient

F(a: + h) — ¥{x) h a le signe de e^ (donc celui de h) si p est impair, et le signe contraire si p est pair.

Donc, si p est impair, ce quotient tend vers + '^ pour h positif et vers — ce pour 7^ négatif, :c est un minimum de F(r/'). Si j) est pair, l'inverse a lieu, o: est un maximum de ¥{x).

Cet exemple prouve qu'?7 existe des fonctions continues qui 7ie sont ni constamment ci'oissantes ni constamment décroissantes dans aucun intervalle, si petit quil soit.

3° La fonction F (a), sous les mêmes conditions que ci-dessus, nest à variation bornée dans aucun intervalle. (C. Jordan.).

Considérons un intervalle \x^, X). Donnons-nous un entier ^' et déterminons une suite de valeurs :

x^=^ x^ -\- li^, x^ = x.^ -\- fi^,,.. Xi-ij-i = Xi ~\- hi,..,, en calculant de proche en proche hi au moyen de xi comme nous avons calculé h au moyen de x précédemment. Nous ferons seulement toujours e/i =-^ 1 pour que h soit positif. Comme h est compris entre 1 : 2b'^ et 3 : 2i^^ , et par conséquent, ne peut tendre vers zéro, il y aura une dernière ordonnée x^i < X, à laquelle nous nous arrêterons.

La variation absolue de F{x) entre xi et xtj.i surpasse, comme on l'a vu tout à l'heure^

Donc la somme de toutes ces variations de Xi à x^ surpasse

Si l'on fait tendre k vers l'infini, toutes les quantités hi tendent vers zéro, et la quantité précédente augmînte à l'infini, car ab est > 1. Donc F{x) a une variation illimitée entre x^^ et X.

Cet exemple prouve qu'il existe des courbes continues y =^ F(x) qui ne sont pas recti fiables (ou dont Varc est infini) entre deux quelconques de leurs points, quelque rapprochés qxCon les suppose. \/

.^ 5. Séries potentielles.

343. Définition. — Les séries potentielles sont celles qui sont ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une variable réelle ou complexe {z — a). Elles sont de la forme

«0 + (h[Z — a) ■\- a.Jz — rt)2 -I h a„ [z — «)" +.••

En posant v — a = x, elles prennent la forme

C'est sous cette forme que nous allons les étudier. Ces séries jouissent de propriétés qui leur sont propres et elles ont une importance exceptionnelle.

Dans les démonstrations suivantes, nous désignerons en général par r le module de x et par ap, aj,... y.,i ceux de a^, a^,... an.

344. Cercle de convergence. — Considérons la suite des quantités

pi = Xj, pa = V^-2>'-' pM=Va„,...

Trois cas peuvent se présenter :

1" p» a pour limite 0 quand n tend vers l'infini. Dans ce cas, la série i]a„r" converge pour toute valeur de r en vertu du critère de Cauchy (n<^ 325) car on a, quel que soit r,

lim \J%ni'^^ = lim rpn = 0.

Donc la série I.a>'x" est absolument convergente pour toute valeur réelle ou complexe de x. On dit, dans ce cas, que la série (1) est une f'onctio7i entière ùe x.

2° p,t peut surpasser tout nombre assignable. Dans ce cas, la série I.a"x'' diverge pour toute valeur de x autre que zéro, car le module de son terme général [cinry^ n'a pas pour limite zéro pour n infini.

3° Si aucune de ces deux hypothèses ne se présente, il existe des nombres positifs que p,? peut surpasser pour une infiuilé de valeurs den, mais ceux-ci ont une limite sujiérieure que l'on peut désigner par 1:R.

La série ïa„r" converge, si .'- < R.

En effet, soit R — z un nombre compris entre r et R : p„ ne peut

surpasser 1 : (R — e) (qui est > 1 : R) que pour un nombre limité de

valeurs de n. On aura donc à partir d'une valeur suflisamment grande

de n

p„ < D^^' f''oî' S'y-nV" = p„r < ^— --^ < 1

et la série converge en vertu du critère de Cauchy.

Donc, pour toute valeur de x dont le module est < R, c'est-à-dire pour toute valeur réelle ou complexe de x située dans un cercle de rayon R autour de l'origine, la série '^(inX" est absolument converyente.

Au contraire, si x tombe en deliors de ce cercle, c'est-à dire à son module > R, la série sera divergente.

En effet, soit R + e un nombre compris entre R et r, pu surpasse

un nombre infini de fois 1 : (R + s). On a donc, pour une infinité de

valeurs de n

Va,,r" = OaV > j^-TT, > 1

et le terme général anX'^ ne peut avoir pour limite zéro.

Le cercle de rayon R que nous venons de définir s'appelle le cercle de convergence, parce que la série Sa,i.r" converge à l'intérieur et diverge à l'extérieur. Sur la circonférence elle même, il y a doute, la série converge ou diverge suivant le cas.

345. Théorème. — Une série potentielle converge uniformément dans tout cercle de rayon p < R décrit autour de T origine, et elle a, par conséquent, pour somme une fonction continue de x dans ce cercle.

En effet, la série à termes constants et positifs -a„p" est convergente par hypothèse, puisque p < R. Les modules des termes de la série Urt^a-" ne peuvent surpasser les termes correspondants de la série précédente dans le cercle de rayon p. Donc cette série converge uniformément (n" 340).

346. Fonctions analytiques. — A l'intérieur du cercle de convergence, une série polenlielle définit donc une fonction de la variable complexe x. Les fonctions qui peuvent être ainsi définies par des séries potentielles, portent le nom de fonctions analytiques. Ce sont les plus importantes, mais leur étude ne sera approfondie que dans la seconde partie du cours.

La dérivée f'(x) d'une fonction analytique f{x) est par définition, la limite du quotient

fix + h)- fjx) h

quand // tend vers zéro par une suite de valeurs réelles ou complexes quelconques. Le théorème suivant prouve l'existence de la dérivée pour toute fonction analytique :

347. Théorème. — Soit f{x) = Xa^-r" une série convergente dans un cercle de rayon R ; la série dérivée Sjifl»^"-* sera convergente dans le même cercle que la première et aura pour somme f\x).

Soit X un point quelconque situé dans le cercle de convergence. Considérons la série convergente à termes positifs

Donnons à r un accroissement positif S, assez petit pour que r ■\-l soit encore < R. La série F(r + ô) sera encore convergente et l'on aura

Donnons à a; un accroissement variable, réel ou complexe, h et formons l'expression analogue à la précédente

f{x-]-h) — f{x) ^. {x-\-hy' — x^

(2) = Sf/

„ , , n{n — 1) , „ „ , nx'^~^ + .a hx'^-~ +.

La comparaison des séries (1) et (2) montre immédiatement que, si I // I est < 0, tous les termes de la série (2) ont leurs modules moindres que les termes de la série (1) qui sont constants et positifs. Donc, si // tend vers zéro, la série (2) converge uniformément (n" 340) et est fonction continue de h (n° 344). Sa limite pour /< -= 0 se confond avec sa valeur pour h = 0. En faisant tendre h vers zéro, l'équation (2) donne donc, à la limite,

f'{x) = ^nanX»-'.

348. Théorème d'AbeL — Si la série Sa„a^" converge pour une valeur réelle x^ de x, elle converge uniformément dans l'intervalle (0, .'^i) et elle a pour somme une fonction continue de x dans cet intei^alle.

Le reste R„ n'est autre chose que la série.

La série proposée étant convergente, par hypothèse, pour x — x^, à tout nombre positif t donné, si petit qu'il soit, correspond un entier N assez grand pour que la condition

I a„a7," -ha,,a., a-/' + ' -\-...^ a„^pX,''-'-P \ < t

ait lieu, quel que soit;j, pourvu que n soit > N. D'autre part, si l'on a 0 < a; < a'i, la suite

/ ce \" / a;\ "-■•' / x\»-^i'

est stationnaire ou décroissante. Donc la série

est convergente (n" 335) et a une somme < ^ ( — j et a fortiori < t.

On a donc | R,i | < £, quel que soit x. Donc la série proposée converge uniformément dans l'intervalle (0, x{).

349. Sur l'emploi du théorème précédent. — Le théorème d'Abel sert le plus souvent à étendre aux points de la circonférence du cercle de convergence des relations établies dans l'intérieur seulement de ce cercle.

Supposons qu'on ait, dans l'intérieur du cercle,

f[x)^^anx-'^

et que f{x) soit continue en un point X de la circonférence. La relation précédente subsistera au point X, ]}02(rvu que la série converge en ce jioint.

Soit, en effet, r une variable réelle comprise entre 0 et 1 ; on a, par hvpothèse,

r{rX) = y:{anX>^)rn.

Faisons tendre r vers l'unité ; on aura, en vertu du théorème d'Abel,

/■(X) = SanX».

350. Application à la multiplication des séries. — Considérons deux séries convergentes à termes réels ou complexes

Formons la série s" — Si^n, doi^t le terme général est

Si la série Sîo^j converge, elle a pour somme ss'. En effet, les deux séries

cp [x) = 2z<„i»'^, <{/ {x) = SyjjO;",

sont convergentes pour x = 1. Donc leur rayon de convergence est au moins égal à 1 et elles sont absolument convergentes si | o: | est < 1. On a donc, sans difficulté si j a; [ est < 1 (n» 320, IV),

(û [x\ <]/ (a;) = Sz<?,ja;"''"i.

Faisons tendre x vers l'unité. On aura, parle théorème d'Abel,

lim o [x] = 5, lim 4" (^) = -5', lim Sïc,,^"'^* ■= — ?^/( = s".

Donc s" = ss' .

351. Théorème, Série illimitée de Maclaurin. — Vne fonction réelle OH complexe ne peut être développée en série potentielle que cVune seule manière.

En effet, soit f{x) la somme d'une série potentielle, convergente dans un cercle de rayon R :

En dérivant successivement, il vient

/■' (a;) =• fli + 2^2^ + Sflga;" +-.-i f" [x) = 'ia,-y'2.3a,x-i-..., r'(^) = 2.3«3+...,

Posant X ^ 0 dans ces équations, on en tire successivement

Donc tous les coefficients de la série sont complètement déterminés. En substituant ces valeurs dans la série, il vient

rw - /'(o) + f r iO) + i^/'"iO)+^ r'-' (0)+...

C'est la série illimitée de Maclaurin. Nous retrouvons donc par une autre voie la loi de formation des coefficients successifs que nous avons reconnue au n° 88. Tandis que nous avons raisonné là sur des expressions composées d'un nombre limité de termes, nous avons raisonné ici sur des sommes prolongées à l'infini. Mais tandis que, les variables étant réelles, la formule limitée du n" 88 ne suppose rien que l'existence des dérivées de [(x), celle que nous venons d'obtenir n'est nullement démontrée pour une fonction f{x) quelconque. Elle ne l'est que pourvu que le développement soit possible.

352. Nouvelles expressions du terme complémentaire dans la formule de Maclaurin. — Le procédé qui se présente immédiatement à l'esprit pour reconnaître si une fonction f{x) d'une variable réelle peut s'exprimer en série potentielle, consiste à la développer par la formule limitée de Maclaurin et à vérifier si le terme complémentaire tend vers zéro quand le nombre n des termes augmente indéfiniment. S'il en est ainsi, en faisant tendre n vers l'infini, on obtiendra l'expression de /'(.r) en série illimitée.

Ceci nous amène à cherclier une nouvelle forme, plus générale, du terme complémentaire ou du reste. >'ous allons l'obtenir en nous servant du calcul intégral.

Soit /'(.1-) une fonction, continue ainsi que toutes ses dérivées, d'une variable réelle x. En faisant une première intégration par parties, on a

f(x) - AO) = rr[x - t)dt = j-/-'(0) + r/"ia- - t]tdt,

,'o Jo

On peut faire une nouvelle intégration par parties portant sur tdt, et continuer ainsi de suite, en faisant toujours porter l'intégration sur la puissance de t. Après n — 1 intégrations par parties consécutives, on obtient la formule

\M = m + #'iOi 4- l^r'iO) +••• + (£^ P'-^' (0) + R»

C'est la formule limitée de Maclaurin avec Vexpression exacte du reste. Si l'on fait le changement de variables t = x (1 — u), le reste R,i s'écrit aussi

(2) R„ = ~^^ {)■> {ux) ( l - uY~Ulu.

Au moyen du théorème de la moyenne, on peut obtenir des expressions plus simples du reste, mais qui ont l'inconvénient de renfermer une quantité inconnue h compiise entre 0 et 1. Si l'on fait sortir p^''{ux) du signe d'intégration, on trouve

C'est l'expression connue (n-^ 88).

§ 6. Développement des fonctions en séries potentielles. Discussion du reste (variables réelles).

353. Considérations générales. — Lorsqu'on se propose de développer en séries potentielles des fonctions qui dépendent d'une variable complexe, il existe des principes généraux qui permettent de supprimer ou à peu près toute discussion. Ces principes seront exposés dans le second volume. Pour le moment, nous considérerons exclusivement les variables réelles. Pour obtenir le développement de f{x) en série potentielle, le procédé le plus élémentaire consiste à passer de la formule limitée de Maclaurin à la formule illimitée en faisant tendre n vers l'infini.

Il faut démontrer que le terme complémentaire Rn tend vers zéro. C'est à cela que servent les expressions générales de ce terme que nous avons fait connaître au n° précédent. Mais la discussion est loin d'être toujours facile sur ces expressions générales. Elle est simple pour les fonctions e^ , sina;, cosx. Elle Test déjà moins pour les autres fonctions élémentaires, et pour les fonctions plus compliquées, elle est le plus souvent impraticable.

Heureusement, pour la plupart des fonctions, on peut trouver des expressions particulières de R», non comprises dans les formules générales, et qui se prêtent à une discussion plus facile. C'est ce que nous nous proposons surtout de faire dans le paragraphe actuel.

A côté du procédé qui consiste à passer de la série limitée à la série illimitée, il y en a un autre, infiniment plus riche en ressources. On pose a pi'iori la série illimitée et on démontre directement au moyen de ses propriétés particulières qu'elle a pour somme f{x). Ce procédé est moins élémentaire que le premier, mais, pour en faire saisir la portée, nous commencerons par l'appliquer aux fonctions e-"^, sinic et cosa;.